Đề bài: Chứng minh rằng dãy số $u_n=(1+\frac{1}{n})^n, (n=1,2,…)$ là một dãy số tăng, tức là

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng dãy số $u_n=(1+\frac{1}{n})^n, (n=1,2,…)$là một dãy số tăng
Lời giải

Ta cần chứng minh

$\displaystyle (1+\frac{1}{n})^n$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho $n+1$ số dương không đồng thời bằng nhau:
$1$  và  $\displaystyle \underbrace {1+\frac{1}{n},1+\frac{1}{n},..,1+\frac{1}{n}}_{n }$.
ta được :
$\displaystyle \frac{1}{n+1}[1+n(1+\frac{1}{n})]>\sqrt[n+1]{(1+\frac{1}{n})^n}\Leftrightarrow 1+\frac{1}{n+1}>\sqrt[n+1]{(1+\frac{1}{n})^n}$.
Nâng cả hai vế lên lũy thừa bậc $n+1$, thì được kết quả cần chứng minh.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi