Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của:  \(f(x,y)=(2x-x^{2})(y-2y^{2}); 0\leq x\leq 2; 0\leq y\leq \frac{1}{2}\)

Lời giải

Đề bài:
Tìm giá trị lớn nhất của:  \(f(x,y)=(2x-x^{2})(y-2y^{2}); 0\leq x\leq 2; 0\leq y\leq \frac{1}{2}\)
Lời giải

– Vì \(0\leq x\leq 2 \Rightarrow 2-x\geq 0\), nên ta có:
\(2x-x^{2}=x(2-x)\leq {\left( {\frac{{x + 2 – x}}{2}} \right)^2}\)$=1$ (Áp dụng BĐT Côsi cho \(x;  2-x\))
Dấu = xảy ra khi $x=2-x\Leftrightarrow x=1$
–  Vì \(0\leq y\leq \frac{1}{2} \Rightarrow 1-2y\geq 0\), nên ta có:
\((y-2y^{2})=\frac{1}{2}.2y(1-2y)\leq \frac{1}{2}{\left( {\frac{{2y + 1 – 2y}}{2}} \right)^2}=\frac{1}{8}\) (Côsi  cho 2 số \(2y  ;  1-2y\))
\(\Rightarrow y-2y^{2}\leq \frac{1}{8}\)
Dấu = xảy ra khi $2y=1-2y\Leftrightarrow y=\frac{1}{4}$
Do đó ta có: \((2x-x^{2})(y-2y^{2})\leq \frac{1}{8}\)
Nên GTLN của \(f(x,y)=(2x-x^{2})(y-2y^{2})\) là  \(\frac{1}{8}\), đạt được khi \(x=1, y=\frac{1}{4}\)

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi