Đề bài: Cho $a,b,c$ dương chứng minh: $(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \frac{9}{2}$

Lời giải

Đề bài:
Cho $a,b,c$ dương chứng minh: $(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \frac{9}{2}$
Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 3 số dương :
$a+b+c=\frac{1}{2}[(a+b)+(b+c)+(c+a)] \geq \frac{3}{2}\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}>0  $
và $ \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{(a+b)(b+c)(c+a)} }>0   $
Nhân vế theo vế suy ra đpcm

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi