Đề bài: Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=1$.Chứng minh rằng: $p=abc\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\leq \frac{8}{729}$

Lời giải

Đề bài:
Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=1$.Chứng minh rằng: $p=abc\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\leq \frac{8}{729}$
Lời giải

Áp dụng BĐT Cauchy cho $6$ số:
Ta có: $8p=\left ( 2a \right )\left ( 2b \right )\left ( 2c \right )\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right ) $
                 $\leq \left ( \frac{2a+2b+2c+a+b+b+c+c+a}{6} \right )^{6}\leq \left ( \frac{4a+4b+4c}{6} \right )^{6} \leq \left ( \frac{2}{3} \right )^{6}$
$\Rightarrow p\leq \frac{1}{8} \left ( \frac{2}{3} \right )^{6}=\frac{8}{729}$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi