Đề bài: Cho $\begin{cases}x,y>0 \\ x+y= 1\end{cases}$.Tìm giá trị nhỏ nhất của:$P=\left ( 1-\frac{1}{x^{2}} \right )+\left ( 1-\frac{1}{y^{2}} \right )$

Lời giải

Đề bài:
Cho $\begin{cases}x,y>0 \\ x+y= 1\end{cases}$.Tìm giá trị nhỏ nhất của:$P=\left ( 1-\frac{1}{x^{2}} \right )+\left ( 1-\frac{1}{y^{2}} \right )$
Lời giải

Ta có: $P=\frac{\left ( x^{2}-1 \right )\left ( y^{2}-1 \right )}{\left ( xy \right )^{2}}=\frac{\left ( 1-x \right )\left (1-y \right )\left ( 1+x \right )\left (1+y \right )}{\left ( xy \right )^{2}}$
                $=\frac{xy\left ( 1+x +y+xy\right )}{\left ( xy \right )^{2}}=\frac{\left ( 2+xy \right )}{xy}=1+\frac{2}{xy}$
Mà: $xy\leq \left ( \frac{x+y}{2} \right )^{2}=\frac{1}{4}$(BĐT Cauchy) $\Rightarrow P=1+\frac{2}{xy}\geq 9$
Dấu “=” xảy ra: $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$
Vậy: Min(P)$=9$ khi: $x=y=\frac{1}{2}.$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi