Đề bài: Với  $a, b, c$ là $3$ số thực bất kỳ thỏa mãn điều kiện $a+b+c = 0$. Chứng minh rằng:                             \({8^a} + {8^b} + {8^c} \ge {2^a} + {2^b} + {2^c}\)

Lời giải

Đề bài:
Với  $a, b, c$ là $3$ số thực bất kỳ thỏa mãn điều kiện $a+b+c = 0$. Chứng minh rằng:                             \({8^a} + {8^b} + {8^c} \ge {2^a} + {2^b} + {2^c}\)
Lời giải

Đặt \(x = {2^a},y = {2^b},z = {2^c}\) thì $x, y, z >0$ và điều kiện $a + b+ c = 0$ \( \Leftrightarrow xyz = 1\). Theo bất đẳng thức Cosi  \(x + y + z \ge 3\)
Mặt khác \({x^3} + 1 + 1 \ge 3x \Rightarrow {x^3} \ge 3x – 2\)
Tương tự  \({y^3} \ge 3y – 2,{z^3} \ge 3z – 2\)
\(\Rightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3\left( {x + y + z} \right) – 6\) \( = \left( {x + y + z} \right) + 2\left( {x + y + z – 3} \right) \ge \left( {x + y + z} \right)\)
\( \Rightarrow {8^a} + {8^b} + {8^c} \ge {2^a} + {2^b} + {2^c}\)

Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z = 1 \Leftrightarrow a = b = c = 0\)

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi