Lời giải
Đề bài:
Chứng minh rằng với mọi $x\in R$, ta có: $(\frac{12}{5})^x+(\frac{15}{4})^x+(\frac{20}{3})^x\geq 3^x+4^x+5^x$. Khi nào đẳng thức xảy ra?
Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức Côsi, ta lần lượt có:
$
\displaystyle (\frac{12}{5})^x+(\frac{15}{4})^x\geq 2\sqrt{(\frac{12}{5})^x.(\frac{15}{4})^x}=2.3^x. (1)$
$
\displaystyle (\frac{12}{5})^x+(\frac{20}{3})^x\geq 2\sqrt{(\frac{12}{5})^x.(\frac{20}{3})^x}=2.4^x (2)$
$
\displaystyle (\frac{20}{3})^x+(\frac{15}{4})^x\geq 2\sqrt{(\frac{20}{3})^x.(\frac{15}{4})^x}=2.5^x (3)$
Cộng theo vế $(1),(2),(3)$ ta được:
$
\displaystyle (\frac{12}{5})^x+(\frac{15}{4})^x+(\frac{20}{3})^x\geq 3^x+4^x+5^x$, đpcm.
Dấu $”=”$ xảy ra khi và chỉ khi:$
\displaystyle (\frac{12}{5})^x=(\frac{15}{4})^x=(\frac{20}{3})^x\Leftrightarrow x=0$.
=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi
Trả lời