Đề bài: Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}

Lời giải

Đề bài:
Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}
Lời giải

Theo BĐT Cauchy:
$\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a\left ( b+c \right )}}\geq \frac{a}{\frac{a+b+c}{2}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$
Tương tự ta có: $\sqrt{\frac{b}{c+a}}\geq \frac{2b}{a+b+c}$
                            $\sqrt{\frac{c}{a+b}} \geq \frac{2c}{a+b+c}$
Từ đó suy ra:
$ \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq 2$ $ \left ( * \right )$
Mặt khác:
$\frac{a+c}{a+b+c}>\frac{a}{a+b}$ $\left ( 1 \right )$
(vì: $\left ( 1 \right )\Leftrightarrow \left ( a+c \right ) \left ( a+b \right )> a\left ( a+b+c \right )$
$\Leftrightarrow a\left ( a+b\right )+c\left ( a+b \right )>a\left ( a+b \right )+ac$
$\Leftrightarrow c\left ( a+b \right )>ac$
$\Leftrightarrow \left ( a+b \right )>a$, luôn đúng)
Tương tự ta có:
$\frac{a+b}{a+b+c}>\frac{b}{b+c}$ $\left ( 2 \right )$
$\frac{c+b}{a+b+c}>\frac{c}{c+a}$ $\left ( 3 \right )$
Cộng $\left ( 1 \right )$,$\left ( 2 \right )$,$\left ( 3 \right )$vế với vế,ta được:$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}Từ $ \left ( * \right )$ và $\left ( 4 \right )$ $\Rightarrow $  (ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi