• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Đề bài: Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Côsi

Đề bài: Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}
Lời giải

Theo BĐT Cauchy:
$\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a\left ( b+c \right )}}\geq \frac{a}{\frac{a+b+c}{2}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$
Tương tự ta có: $\sqrt{\frac{b}{c+a}}\geq \frac{2b}{a+b+c}$
                            $\sqrt{\frac{c}{a+b}} \geq \frac{2c}{a+b+c}$
Từ đó suy ra:
$ \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq 2$ $ \left ( * \right )$
Mặt khác:
$\frac{a+c}{a+b+c}>\frac{a}{a+b}$ $\left ( 1 \right )$
(vì: $\left ( 1 \right )\Leftrightarrow \left ( a+c \right ) \left ( a+b \right )> a\left ( a+b+c \right )$
$\Leftrightarrow a\left ( a+b\right )+c\left ( a+b \right )>a\left ( a+b \right )+ac$
$\Leftrightarrow c\left ( a+b \right )>ac$
$\Leftrightarrow \left ( a+b \right )>a$, luôn đúng)
Tương tự ta có:
$\frac{a+b}{a+b+c}>\frac{b}{b+c}$ $\left ( 2 \right )$
$\frac{c+b}{a+b+c}>\frac{c}{c+a}$ $\left ( 3 \right )$
Cộng $\left ( 1 \right )$,$\left ( 2 \right )$,$\left ( 3 \right )$vế với vế,ta được:$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}Từ $ \left ( * \right )$ và $\left ( 4 \right )$ $\Rightarrow $  (ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Côsi

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Dùng bất đẳng thức Cô-si, tìm GTNN:a)$y=x+\frac{3}{x}; (x>0) $                                               b) GTNN $y=x+\frac{2}{x-3}; (x>3) $c) $y=5^{x+1}+5^{x-2} $                                                d) $y=\frac{2 x^{2}+3x+7 }{x} . (x>0)$
  2. Đề bài: Cho $x,y,z>0;  xyz=1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\frac{1}{x^2+2y^2+3}+\frac{1}{y^2+2z^2+3}+\frac{1}{z^2+2x^2+3}$.
  3. Đề bài: Cho \(xy=4 (x>0, y>0)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của:1)    \(x^{2}+y^{2}\)2)    \(x^{4}+y^{4}\)3)    \((x+1)(4y+3)\)
  4. Đề bài: $a,b,c$ là $3$ số khác $0$. Chứng minh rằng $\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} \ge \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$
  5. Đề bài: Chứng minh rằng : $abc(a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{8}{729}$. Trong đó $a,b,c $ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$
  6. Đề bài: Với $a,b,c>0$ và $a+b+c\leq 1$ chứng minh rằng:     $\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\geq 9$.
  7. Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của:$y=\sin^{2} x.\cos ^{6}x$
  8. Đề bài: $1.$ Cho hình thang cân $ABCD$ có đáy là $AD, BC$, $\widehat {BAD} = {30^0}$. Biết  $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow {a} ,\overrightarrow {AD}  =\overrightarrow {b} .$Hãy biểu diễn các véctơ $\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CD},\overrightarrow {AC}  ,\overrightarrow {BD} $ theo các véctơ $\overrightarrow {a},\overrightarrow {b}  .$$2.$ Chứng minh rằng $\forall  \in (0;\frac{\pi}{2} )$ đều có$cosx +sinx +tanx+cotx+\frac{1}{sinx }+\frac{1}{cosx } >6$
  9. Đề bài: Cho $x,y>0; x+y
  10. Đề bài: Chứng minh rằng: \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\geq a+b+c\) với \(a,b,c\geq 0\).
  11. Đề bài: Phân tích số $16$ thành tổng của $2$ số dương sao cho tổng bình phương của chúng là nhỏ nhất.
  12. Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b$ thỏa mãn $a\geq \frac{1}{2}, a>b$.  Ta có: $\frac{2a^3+1}{4b(a-b)}\geq 3$
  13. Đề bài: Cho $a,b,c,k$ là các số nguyên dương, $k\geq \frac{2}{3}$. Chứng minh rằng:     $(\frac{a}{b+c})^k+(\frac{b}{c+a})^k+(\frac{c}{a+b})^k\geq \frac{3}{2^k}        (1)$
  14. Đề bài: Cho $n\in Z,n\geq 2.$Chứng minh rằng:$\sqrt[n]{1+\frac{\sqrt[n]{n}}{n}}+\sqrt[n]{1-\frac{\sqrt[n]{n}}{n}}
  15. Đề bài: Cho $x,y,z>0$ và $xyz=xy+yz+zx$.Chứng minh: $P=\frac{1}{x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+z}+\frac{1}{3x+y+2z}

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.