Đề bài: Cho hai số dương $a,b$ thỏa mãn $a+b=1$. Chứng minh rằng:  $(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2\geq \frac{25}{2}$

Lời giải

Đề bài:
Cho hai số dương $a,b$ thỏa mãn $a+b=1$. Chứng minh rằng:  $(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2\geq \frac{25}{2}$
Lời giải

Ta có: $
\displaystyle a+b=1 \Leftrightarrow 1=(a+b)^2\geq 4ab\Leftrightarrow \frac{1}{ab}\geq 4$.
Mặt khác ta có: 
           $
\displaystyle (a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2\geq \frac{
\displaystyle (a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b})^2}{2}=\frac{
\displaystyle (a+b+\frac{a+b}{ab})^2}{2}=\frac{
\displaystyle (1+\frac{1}{ab})^2}{2}$.
                                                                             $
\displaystyle \geq \frac{(1+4)^2}{2}=\frac{25}{2}$, đpcm.
Dấu $”=”$ xảy ra khi :
    $
\displaystyle \begin{cases}a+b=1 \\ a=b \end{cases}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi