Đề bài: Chứng minh rằng: $C^{0}_{n}+C^{1}_{n}.n+C^{2}_{n}.n^{2}+…+C^{n}_{n}.n^{n}\geq 2^{n}.n!$ với $\forall n \in Z,n\geq 2$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng: $C^{0}_{n}+C^{1}_{n}.n+C^{2}_{n}.n^{2}+…+C^{n}_{n}.n^{n}\geq 2^{n}.n!$ với $\forall n \in Z,n\geq 2$
Lời giải

Ta có: $n!=1.2.3…n \leq (\frac{1+2+…+n}{n})^{n}$
(Do BĐT Cauchy)
$\Rightarrow n!\leq (\frac{n(n+1)}{2n})^{n} $
$\Rightarrow n!\leq (\frac{n+1}{2})^{n}\Rightarrow2^{n}.n!\leq (n+1)^{n} (1)$
Mà: $(1+n)^{n}=\sum\limits_{k=0}^n C^{k}_{n}1^{n-k}n^{k}=C^{0}_{n}+C^{1}_{n}n+C^{2}_{n}n^{2}+…+C^{n}_{n}n^{n} (2)$
TỪ (1) và (2) $\Rightarrow $ (ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi