Đề bài: Chứng minh rằng: \((1+a)(1+b)(1+c)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^{3}\) với \(a,b,c\geq 0\).

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng: \((1+a)(1+b)(1+c)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^{3}\) với \(a,b,c\geq 0\).
Lời giải

Ta có:
\((1+a)(1+b)(1+c)=1+a+b+c+ab+bc+ca+abc\)
Ta lại có:
\(\left\{ \begin{array}{l}a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}(1)\\ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{(abc)^{2}}\\abc=\sqrt[3]{(abc)^{3}} \end{array} \right. \);
Do áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số $a;b;c\ge 0\Rightarrow (1)$
                                                          $ab;bc;ca\ge 0\Rightarrow (2)$
Vậy: \((1+a)(1+b)(1+c)\geq 1+\sqrt[3]{(abc)}+\sqrt[3]{(abc)^2}+\sqrt[3]{(abc)^3}\\
\Leftrightarrow (1+a)(1+b)(1+c)\ge(1+\sqrt[3]{abc})^{3}\).

Vậy ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi
$\left\{ \begin{array}{l} a=b=c\\ ab=bc=ca \end{array} \right.\Rightarrow a=b=c.$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi