Đề bài: Chứng minh rằng:$a)(1+x)(1+y)(1+z) \geq (1+\sqrt[3]{xyz})^{3}$ với $\forall x,y,z \geq 0$$b)(1+\frac{1}{\sin \frac{A}{2}})(1+\frac{1}{\sin \frac{B}{2}})(1+\frac{1}{\sin \frac{C}{2}})\geq 27$với $A,B,C$ là $3$ góc của $\triangle ABC$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng:$a)(1+x)(1+y)(1+z) \geq (1+\sqrt[3]{xyz})^{3}$ với $\forall x,y,z \geq 0$$b)(1+\frac{1}{\sin \frac{A}{2}})(1+\frac{1}{\sin \frac{B}{2}})(1+\frac{1}{\sin \frac{C}{2}})\geq 27$với $A,B,C$ là $3$ góc của $\triangle ABC$
Lời giải

a) Áp dụng BĐT Cauchy:
$(1+x)(1+y)(1+z)=1+(x+y+z)+(xy+yz+zx)+xyz$
$\geq 1+3\sqrt[3]{xyz}+3\sqrt[3]{xy.yz.zx}+xyz \geq (1+\sqrt[3]{xyz})^{3}$
Dấu “=” xảy ra$\Leftrightarrow x=y=z$
b)Ta có: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc.\cos A$
                     $=(b-c)^{2}+2bc(1- \cos A)$
                     $=(b-c)^{2}+4bc.\sin ^{2} \frac{A}{2} \geq 4bc.\sin ^{2} \frac{A}{2}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sin ^{2} \frac{A}{2}}\geq \frac{4bc}{a^{2}}\Rightarrow  \frac{1}{\sin  \frac{A}{2}}\geq 2\frac{\sqrt{bc}}{a}$
Tương tự ta có:
$ \frac{1}{\sin  \frac{B}{2}}\geq 2\frac{\sqrt{ca}}{b}$
$ \frac{1}{\sin  \frac{C}{2}}\geq 2\frac{\sqrt{ab}}{c}$
$\Rightarrow (1+\frac{1}{\sin \frac{A}{2}})(1+\frac{1}{\sin \frac{B}{2}})(1+\frac{1}{\sin \frac{C}{2}})\geq$
$\geq (1+2\frac{\sqrt{bc}}{a})(1+ 2\frac{\sqrt{ca}}{b})(1+2\frac{\sqrt{ab}}{c})$
Mặt khác áp dụng BĐT Cauchy:
 $1+2\frac{\sqrt{bc}}{a}=1+\frac{\sqrt{bc}}{a}+\frac{\sqrt{bc}}{a}\geq 3\sqrt[3]{\frac{bc}{a^{2}}}   (1)$
Tương tự ta có:
$1+ 2\frac{\sqrt{ca}}{b}\geq 3\sqrt[3]{\frac{ca}{b^{2}}}  (2)$
$1+2\frac{\sqrt{ab}}{c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{ab}{c^{2}}}   (3)$
Nhân $(1),(2),(3)$ vế với vế ta có ngay:
$(1+2\frac{\sqrt{bc}}{a})(1+ 2\frac{\sqrt{ca}}{b})(1+2\frac{\sqrt{ab}}{c}) \geq 27$
$\Rightarrow (1+\frac{1}{\sin \frac{A}{2}})(1+\frac{1}{\sin \frac{B}{2}})(1+\frac{1}{\sin \frac{C}{2}})\geq 27$
Dấu “=” xảy ra$\Leftrightarrow \triangle ABC$ đều.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi