Lời giải
Đề bài:
Cho \(a,b,c>0\). Chứng minh rằng: \(\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b+c}{b^{2}+c^{2}}+\frac{a+c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Lời giải
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{a}{2ab}+\frac{b}{2ba}\)
\(\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\)
Tương tự: \(\frac{b+c}{c^{2}+b^{2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\)
\(\frac{a+c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})\)
Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế ta có:
\(\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b+c}{b^{2}+c^{2}}+\frac{a+c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) (đpcm).
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$
=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi
Trả lời