• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Đề bài: 1)    Với $x \in [ – 1;1] $,   chứng minh $\sqrt[4]{2} < \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt[4]{{1 + x}} \le 2$2)    Tìm miền giá trị của   $y=\sin^{2n}x+\cos^{2n}x$ với $n\in Z^+$ 3)    Chứng minh:   $4^{|\sin x|} + 2^{|\cos x|} \ge 3$

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Côsi

Đề bài: 1)    Với $x \in [ – 1;1] $,   chứng minh $\sqrt[4]{2} < \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt[4]{{1 + x}} \le 2$2)    Tìm miền giá trị của   $y=\sin^{2n}x+\cos^{2n}x$ với $n\in Z^+$ 3)    Chứng minh:   $4^{|\sin x|} + 2^{|\cos x|} \ge 3$

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
1)    Với $x \in [ – 1;1] $,   chứng minh $\sqrt[4]{2} < \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt[4]{{1 + x}} \le 2$2)    Tìm miền giá trị của   $y=\sin^{2n}x+\cos^{2n}x$ với $n\in Z^+$ 3)    Chứng minh:   $4^{|\sin x|} + 2^{|\cos x|} \ge 3$
Lời giải

1)  Xét hàm số : $y = \sqrt[4]{{1 – x}} + \sqrt[4]{{1 + x}}$ với $x \in {\rm{[ – 1;1]}}$
${y^’} =  – \frac{1}{4}{(1 – x)^{ – 3/4}} + \frac{1}{4}{(1 + x)^{ – 3/4}} = \frac{1}{4}\left[ {\frac{1}{{\sqrt[4]{{(1 + x)^3}}}} – \frac{1}{{\sqrt[4]{{{{(1 – x)}^3}}}}}} \right]$
${y^’} = 0$ khi $1 + x = 1 – x \Rightarrow x = 0$
Bảng biến thiên của y
Từ bảng này suy ra  $y(-1)=y(1) \le y(x) \le y(0)$
tức là  $\sqrt[4]{2} \le y = \sqrt[4]{{1 + x}} + \sqrt[4]{{1 – x}} \le 2$
2) $y = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^n} + {(1 – {\sin ^2}x)^n}.$ Đặt ${\sin ^2}x = t \in {\rm{[0,1]}}$
$ \Rightarrow y(t) = {t^n} + {(1 – t)^n}$ với $t \in {\rm{[0,1]}}$
${y^’} =n[t^{n-1}-(1-t)^{n-1}],  {y^’} = 0$ khi $t = \frac{1}{2}$
Bảng biến thiên
Từ bảng này suy ra  $y(0)=y(1) \ge y(t) \ge y(\frac{1}{2})$
tức là  $1 \ge y(t) \ge \frac{1}{2^{n-1}}$
Vậy miền giá trị của y là $\left[ {\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{{\rm{n – 1}}}}}},1} \right]$
3) Chú ý rằng với  $ 0 \le |\sin x|, |\cos x| \le 1$ thì $ \sin^2 x \le |\sin x|, \cos^2 x| \le |\cos x| $.
Ta có ${4^{|{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx|}}}} + {2^{|c{\rm{osx|}}}} \ge {4^{{{\sin }^2}x}} + {2^{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}x}} = $
$ = {4^{1 – c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}}} + {2^{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}x}} = \frac{4}{{{4^{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}x}}}} + \frac{{{2^{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}}}}}{{\rm{2}}} + \frac{{{2^{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}x}}}}{2}  $$ \underbrace {\ge}_{Cô-si}  $ 3 ( ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Côsi

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Cho $a,b,c$  dương thay đổi. Chứng minh:     $\left ( \frac{a}{b}  \right )^ \frac{3}{2}+\left ( \frac{b}{c}  \right )^ \frac{3}{2} +\left ( \frac{c}{a}  \right )^ \frac{3}{2} \geq  \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}   $
  2. Đề bài: Cho \(2\) số dương \(a\) và \(b\). Chứng minh rằng:  \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\)
  3. Đề bài: $a,b,c$ là $3$ số khác $0$. Chứng minh rằng $\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} \ge \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$
  4. Đề bài: Chứng minh rằng : $abc(a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{8}{729}$. Trong đó $a,b,c $ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$
  5. Đề bài: Với $a,b,c>0$ và $a+b+c\leq 1$ chứng minh rằng:     $\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\geq 9$.
  6. Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của:$y=\sin^{2} x.\cos ^{6}x$
  7. Đề bài: Chứng minh rằng với mọi $x, y$ dương ta có:  \({x^2} + {y^2} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge 2\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)\)
  8. Đề bài: Dùng bất đẳng thức Cô-si, tìm GTNN:a)$y=x+\frac{3}{x}; (x>0) $                                               b) GTNN $y=x+\frac{2}{x-3}; (x>3) $c) $y=5^{x+1}+5^{x-2} $                                                d) $y=\frac{2 x^{2}+3x+7 }{x} . (x>0)$
  9. Đề bài: Cho $x,y,z>0;  xyz=1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\frac{1}{x^2+2y^2+3}+\frac{1}{y^2+2z^2+3}+\frac{1}{z^2+2x^2+3}$.
  10. Đề bài: Cho \(xy=4 (x>0, y>0)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của:1)    \(x^{2}+y^{2}\)2)    \(x^{4}+y^{4}\)3)    \((x+1)(4y+3)\)
  11. Đề bài: Phân tích số $16$ thành tổng của $2$ số dương sao cho tổng bình phương của chúng là nhỏ nhất.
  12. Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b$ thỏa mãn $a\geq \frac{1}{2}, a>b$.  Ta có: $\frac{2a^3+1}{4b(a-b)}\geq 3$
  13. Đề bài: Cho $a,b,c,k$ là các số nguyên dương, $k\geq \frac{2}{3}$. Chứng minh rằng:     $(\frac{a}{b+c})^k+(\frac{b}{c+a})^k+(\frac{c}{a+b})^k\geq \frac{3}{2^k}        (1)$
  14. Đề bài: Cho $n\in Z,n\geq 2.$Chứng minh rằng:$\sqrt[n]{1+\frac{\sqrt[n]{n}}{n}}+\sqrt[n]{1-\frac{\sqrt[n]{n}}{n}}
  15. Đề bài: $1.$ Cho hình thang cân $ABCD$ có đáy là $AD, BC$, $\widehat {BAD} = {30^0}$. Biết  $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow {a} ,\overrightarrow {AD}  =\overrightarrow {b} .$Hãy biểu diễn các véctơ $\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CD},\overrightarrow {AC}  ,\overrightarrow {BD} $ theo các véctơ $\overrightarrow {a},\overrightarrow {b}  .$$2.$ Chứng minh rằng $\forall  \in (0;\frac{\pi}{2} )$ đều có$cosx +sinx +tanx+cotx+\frac{1}{sinx }+\frac{1}{cosx } >6$

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.