Lời giải
Đề bài:
Cho $0
Lời giải
Áp dụng BĐT Cauchy cho $3$ số:
$2x^{2}(1-x^{2})(1-x^{2})\leq (\frac{2x^{2}+1-x^{2}+1-x^{2}}{3})^3$
$\Rightarrow 2x^{2}(1-x^{2})^{2}\leq \frac{8}{27}$
$\Rightarrow x(1-x^{2})\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$
$\Rightarrow \frac{x}{1-x^{2}}=\frac{x^{2}}{x(1-x^{2})}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}x^{2}$
Tương tự ta có:
$\frac{y}{1-y^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}y^{2};\frac{z}{1-z^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}z^{2}$
Cộng vế với vế 3 BĐT trên,ta được:
$\frac{x}{1-x^{2}}+\frac{y}{1-y^{2}}+\frac{z}{1-z^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})$
$\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(xy+yz+zx)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$
Dấu “=” xảy ra $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$
=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi
Trả lời