Đề bài: Cho $a,b,c,k$ là các số nguyên dương, $k\geq \frac{2}{3}$. Chứng minh rằng:     $(\frac{a}{b+c})^k+(\frac{b}{c+a})^k+(\frac{c}{a+b})^k\geq \frac{3}{2^k}        (1)$

Lời giải

Đề bài:
Cho $a,b,c,k$ là các số nguyên dương, $k\geq \frac{2}{3}$. Chứng minh rằng:     $(\frac{a}{b+c})^k+(\frac{b}{c+a})^k+(\frac{c}{a+b})^k\geq \frac{3}{2^k}        (1)$
Lời giải

Sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho ba số, ta có:
     $
\displaystyle \frac{2}{3}(a+b+c)=\frac{2a+(b+c)+(b+c)}{3}\geq \sqrt[3]{2a(b+c)^2}$
     $
\displaystyle \Leftrightarrow (\frac{a}{b+c})^\frac{2}{3}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{4}}.\frac{a}{a+b+c}               (2)$
Tương tự, ta cũng có:
     $
\displaystyle (\frac{b}{a+c})^
\frac{2}{3}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{4}}.\frac{b}{a+b+c}               (3)$
      $
\displaystyle (\frac{c}{a+b})^\frac{2}{3}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{4}}.\frac{c}{a+b+c}               (4)$
 Cộng vế từng vế của $(2),(3),(4)$ suy ra $(1)$ đúng với $
\displaystyle k=\frac{2}{3}$.
 Xét trường hợp $
\displaystyle k>\frac{2}{3}$. Đặt $
\displaystyle m=\frac{3}{2}k$ thì $m>1$, do đó;
     $
\displaystyle \frac{x^m+y^m+z^m}{3}\geq (\frac{x+y+z}{3})^m                     (5)$
 ứng với mọi số dương $x,y,z$.
 Sử dụng $(5)$ với : $
\displaystyle x=(\frac{a}{b+c})^k, y=(\frac{b}{c+a})^k, z=(\frac{c}{a+b})^k$, ta thu được:
  $
\displaystyle (\frac{a}{b+c})^k+(\frac{b}{c+a})^k+(\frac{c}{a+b})^k\geq \frac{3}{2^k}    $   đpcm.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi