Đề bài: Cho $x,y>0; x+y

Lời giải

Đề bài:
Cho $x,y>0; x+y
Lời giải

Ta có thể viết lại $P$ dưới dạng:
$P=(1+x)+\frac{x^2}{1-x}+(1+y)+\frac{y^2}{1-y}+\frac{1}{x+y}-2$
$=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{x+y}-2  (1)$
Theo bất đẳng thức Côsi cơ bản ta có:
$[(1-x)+(1-y)+(1-z)](\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{x+y})\geq 9$
  $\Rightarrow \frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{x+y}\geq \frac{9}{2} (2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra $P\geq \frac{5}{2}  (3)$
Dấu $”=”$ trong $(3)$ xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}x= y\\ 1-x=2x \end{cases}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{3}$. Vậy $\min P=\frac{5}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{3}$.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi