Đề bài: Chứng minh rằng:$(1-\frac{1}{365})(1-\frac{2}{365})…(1-\frac{25}{365})

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng:$(1-\frac{1}{365})(1-\frac{2}{365})…(1-\frac{25}{365})
Lời giải

Theo BĐT Cauchy:
$\prod\limits_{k=1}^{25}(1-\frac{k}{365})\leq (\frac{\sum\limits_{k=1}^{25}(1-\frac{k}{365})}{25})^{25}=(\frac{25-\frac{25.26\div 2}{365}}{25})^{25}= (1-\frac{13}{365})^{25}=(1-q)^{25},$
với $q=\frac{13}{365} (1)$
Hơn nữa: $(1-q)^{25}=C^{0}_{25}-C^{1}_{25}q+C^{2}_{25}q^{2}-…-C^{25}_{25}q^{25}
$\Rightarrow (1-q)^{25}$\leq 1-\frac{65}{73}+\frac{169.12}{73^{2}} \leq \frac{8}{73}+\frac{2028}{5329}=\frac{2612}{5329}Cùng với $(1)$ suy ra:
$\prod\limits_{k=1}^{25}(1-\frac{k}{365})^{25}Vậy BĐT đã được chứng minh.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi