Đề bài: Chứng minh rằng: \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\geq a+b+c\) với \(a,b,c\geq 0\).

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng: \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\geq a+b+c\) với \(a,b,c\geq 0\).
Lời giải

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm ta có
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq 2\sqrt{\frac{bc^{2}a}{ab}}=2c\)
         Dấu bằng xảy ra khi $b^2c=a^2c\Rightarrow a=b\ge0.$
\(\frac{bc}{a}+\frac{ba}{c}\geq 2\sqrt{\frac{b^{2}ca}{ca}}=2b\)
         Dấu bằng xảy ra khi $a=c\ge0.$
\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\geq 2\sqrt{\frac{a^{2}bc}{bc}}=2a\)
         Dấu bằng xảy ra khi $b=c\ge0.$
Suy ra: \(2\left (\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c} \right )\geq 2(a+b+c)\Rightarrow \)đpcm.

Dấu bẳng xảy ra khi $a=b=c.$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi