• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Đề bài: Chứng minh rằng: $ab+bc+ca-abc\leq \frac{8}{27}$.Trong đó $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$.

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Côsi

Đề bài: Chứng minh rằng: $ab+bc+ca-abc\leq \frac{8}{27}$.Trong đó $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$.

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng: $ab+bc+ca-abc\leq \frac{8}{27}$.Trong đó $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$.
Lời giải

Ta có:
$
\displaystyle VT=ab+bc+ca-abc+1-1=1-a-b-c+ab+bc+ac-abc$.
       $
\displaystyle =(1-a)(1-b)(1-c)\leq [\frac{(1-a)+(1-b)+(1-c)}{3}]^3= [\frac{3-(a+b+c)}{3}]^3=\frac{8}{27}$, đpcm.
Dấu đẳng thức xảy ra khi :
    $
\displaystyle \Leftrightarrow\begin{cases} a+b+c=1\\ a=b=c \end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Côsi

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Cho ba số dương $x,y,z$ và $xyz=1$.Chứng minh $\frac{x^2}{x+y+y^3z}+\frac{y^2}{y+z+z^3x}+\frac{z^2}{z+x+x^3y}\geq 1$.
  2. Đề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng:  \(\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\)
  3. Đề bài: Cho $x, y, z>0,    x+y+x=\pi$.  Chứng minh:    $\sin\frac{x}{2}\sin\frac{y}{2}\sin\frac{z}{2}\leq\frac{1}{8}$
  4. Đề bài: Cho $a, b$ dương. chứng minh :a) $(a+b)(1+ab)\geq 4ab$                                                    b)$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}   $
  5. Đề bài: Cho $a,b>0, m\in N^*$. Chứng minh rằng:     $(1+\frac{a}{b})^m+(1+\frac{b}{a})^m\geq 2^{m+1}$
  6. Đề bài: Cho $n$ số dương $x_{1},x_{2},…,x_{n}(n \geq 2)$ thỏa mãn: $x_{1}+x_{2}+…+x_{n}=1$Tìm giá trị lớn nhất của S:                       $S=x^{a_{1}}_{1}.x^{a_{2}}_{2}…x^{a_{n}}_{n} $Trong đó: $a_{1},a_{2},…,a_{n}$ là $n$ số dương cho trước.
  7. Đề bài: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq 2$Tìm giá trị lớn nhất của $P=xyz$
  8. Đề bài: Cho $a,b,c\in R$.Chứng minh $\frac{|a-c|}{\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+c^2}}\leq \frac{|a-b|}{\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+b^2}}+\frac{|b-c|}{\sqrt{1+b^2}\sqrt{1+c^2}}$.
  9. Đề bài: Cho \(a,b,c>0\). Chứng minh rằng:  \(\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b+c}{b^{2}+c^{2}}+\frac{a+c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
  10. Đề bài: Cho $\Delta ABC$, diện tích bằng $S$, các đường cao $h_a, h_b, h_c$. Chứng minh rằng $\Delta ABC$ đều khi và chỉ khi:  $S=\frac{1}{6}(a.h_b+b.h_c+c.h_a) $
  11. Đề bài: $1.$ Tìm $x, y$ nguyên dương thỏa mãn phương trình: $3x + 5y = 26$.$2.$ Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh rằng: $(a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9$
  12. Đề bài: Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:   $ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ca(c+a-2b)\geq 0$
  13. Đề bài: Chứng minh rằng:$a)(1+x)(1+y)(1+z) \geq (1+\sqrt[3]{xyz})^{3}$ với $\forall x,y,z \geq 0$$b)(1+\frac{1}{\sin \frac{A}{2}})(1+\frac{1}{\sin \frac{B}{2}})(1+\frac{1}{\sin \frac{C}{2}})\geq 27$với $A,B,C$ là $3$ góc của $\triangle ABC$
  14. Đề bài: Cho $a,b>0$ và $a+b=1$.Chứng minh:$\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\geq 6$
  15. Đề bài: Cho $x,y,z>0 $ và $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$. Chứng minh rằng:         $S=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\geq \frac{1}{2}$.

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.