Đề bài: Chứng minh rằng: $ab+bc+ca-abc\leq \frac{8}{27}$.Trong đó $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$.

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng: $ab+bc+ca-abc\leq \frac{8}{27}$.Trong đó $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$.
Lời giải

Ta có:
$
\displaystyle VT=ab+bc+ca-abc+1-1=1-a-b-c+ab+bc+ac-abc$.
       $
\displaystyle =(1-a)(1-b)(1-c)\leq [\frac{(1-a)+(1-b)+(1-c)}{3}]^3= [\frac{3-(a+b+c)}{3}]^3=\frac{8}{27}$, đpcm.
Dấu đẳng thức xảy ra khi :
    $
\displaystyle \Leftrightarrow\begin{cases} a+b+c=1\\ a=b=c \end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi