Lời giải
Đề bài:
Cho ba số $a,b,c$ thỏa mãn $a\geq 1,b\geq 1,c\geq 1$. Chứng minh rằng: $\sqrt{(a+1)(b-1)}+\sqrt{(b+1)(c-1)}+\sqrt{(c+1)(a-1)}
Lời giải
Ta lần lượt có:
$
\displaystyle \sqrt{(a+1)(b-1)}\leq \frac{(a+1)+(b-1)}{2}=\frac{a+b}{2}$
$
\displaystyle \sqrt{(b+1)(c-1)}\leq \frac{(b+1)+(c-1)}{2}=\frac{b+c}{2}$,
$
\displaystyle \sqrt{(c+1)(a-1)}\leq \frac{(c+1)+(a-1)}{2}=\frac{c+a}{2}$.
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:
$
\displaystyle VT\leq \frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}=a+b+c. (*)$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
$\begin{cases}a+1=b-1 \\ b+1=c-1 \\ c+1=a-1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a-b=-2 \\ b-c=-2 \\ c-a=-2 \end{cases}$, vô nghiệm.
Từ đó, suy ra $(*)$ phải được viết lại dưới dạng:
$\sqrt{(a+1)(b-1)}+\sqrt{(b+1)(c-1)}+\sqrt{(c+1)(a-1)}
=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi
Trả lời