Đề bài: Cho ba số $a,b,c$ thỏa mãn $a\geq 1,b\geq 1,c\geq 1$. Chứng minh rằng:     $\sqrt{(a+1)(b-1)}+\sqrt{(b+1)(c-1)}+\sqrt{(c+1)(a-1)}

Lời giải

Đề bài:
Cho ba số $a,b,c$ thỏa mãn $a\geq 1,b\geq 1,c\geq 1$. Chứng minh rằng:     $\sqrt{(a+1)(b-1)}+\sqrt{(b+1)(c-1)}+\sqrt{(c+1)(a-1)}
Lời giải

Ta lần lượt có:
    $
\displaystyle \sqrt{(a+1)(b-1)}\leq \frac{(a+1)+(b-1)}{2}=\frac{a+b}{2}$
    $
\displaystyle \sqrt{(b+1)(c-1)}\leq \frac{(b+1)+(c-1)}{2}=\frac{b+c}{2}$,
     $
\displaystyle \sqrt{(c+1)(a-1)}\leq \frac{(c+1)+(a-1)}{2}=\frac{c+a}{2}$.
 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:
     $
\displaystyle VT\leq \frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}=a+b+c.         (*)$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
     $\begin{cases}a+1=b-1 \\ b+1=c-1 \\ c+1=a-1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a-b=-2 \\ b-c=-2 \\ c-a=-2 \end{cases}$, vô nghiệm.
 Từ  đó, suy ra $(*)$ phải được viết lại dưới dạng:
      $\sqrt{(a+1)(b-1)}+\sqrt{(b+1)(c-1)}+\sqrt{(c+1)(a-1)}

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi