Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b$ thỏa mãn $a\geq \frac{1}{2}, a>b$.  Ta có: $\frac{2a^3+1}{4b(a-b)}\geq 3$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b$ thỏa mãn $a\geq \frac{1}{2}, a>b$.  Ta có: $\frac{2a^3+1}{4b(a-b)}\geq 3$
Lời giải

Nhận xét rằng $
\displaystyle 4b(a-b)\leq 4[\frac{b+(a-b)}{2}]^2=a^2$.
Suy ra:
   $
\displaystyle \frac{2a^3+1}{4b(a-b)}\geq\frac{2a^3+1}{a^2}=2a+\frac{1}{a^2}=a+a+\frac{1}{a^2}\geq 3\sqrt[3]{a.a.\frac{1}{a^2}}=3$, đpcm.
 Dấu đẳng thức xảy ra khi: $
\displaystyle \begin{cases}b=a-b \\ a=\frac{1}{a^2} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=2b \\ a^3=1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=1 \\ b=\frac{1}{2} \end{cases}$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi