Đề bài: Cho $a,b>0$ và $a+b=1$.Chứng minh:$\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\geq 6$

Lời giải

Đề bài:
Cho $a,b>0$ và $a+b=1$.Chứng minh:$\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\geq 6$
Lời giải

$\forall x,y>0$,theo BĐT Cauchy ta có:
$\left ( x+y \right )\left ( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right )\geq 4\Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y} $
Suy ra: $ \frac{1}{2ab} +\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{4}{2ab+\left (  a^{2}+b^{2}\right )}=\frac{4}{\left ( a+b \right )^{2}}=4$ $\left ( 1 \right )$
Và: $2.ab\leq 2.\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{1}{2ab}\geq 2$ $\left ( 2 \right )$
Cộng $\left ( 1 \right )$, $\left ( 2 \right )$ vế với vế: $ \frac{1}{ab} +\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\geq6$
Dấu’=”  xảy ra$\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi