Đề bài: Cho $\Delta ABC$, diện tích bằng $S$, các đường cao $h_a, h_b, h_c$. Chứng minh rằng $\Delta ABC$ đều khi và chỉ khi:  $S=\frac{1}{6}(a.h_b+b.h_c+c.h_a) $

Lời giải

Đề bài:
Cho $\Delta ABC$, diện tích bằng $S$, các đường cao $h_a, h_b, h_c$. Chứng minh rằng $\Delta ABC$ đều khi và chỉ khi:  $S=\frac{1}{6}(a.h_b+b.h_c+c.h_a) $
Lời giải

Ta biến đổi hệ thức giả thiết về dạng:
$\begin{array}{l}
S = \frac{1}{6}(a.{h_b} + b.{h_c} + c.{h_a}) \\   = \frac{1}{6}(b.{h_b}.\frac{a}{b} + c.{h_c}.\frac{b}{c} + a.{h_a}.\frac{c}{a}) = \frac{S}{3}(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a})\\
 \Leftrightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = 3   (1)
\end{array}$

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}\geq  3$
Do đó $(1)$ xảy ra khi: $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}\Leftrightarrow  a=b=c\Leftrightarrow  \Delta ABC$ đều

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi