Lời giải
Đề bài:
Cho $\Delta ABC$, diện tích bằng $S$, các đường cao $h_a, h_b, h_c$. Chứng minh rằng $\Delta ABC$ đều khi và chỉ khi: $S=\frac{1}{6}(a.h_b+b.h_c+c.h_a) $
Lời giải
Ta biến đổi hệ thức giả thiết về dạng:
$\begin{array}{l}
S = \frac{1}{6}(a.{h_b} + b.{h_c} + c.{h_a}) \\ = \frac{1}{6}(b.{h_b}.\frac{a}{b} + c.{h_c}.\frac{b}{c} + a.{h_a}.\frac{c}{a}) = \frac{S}{3}(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a})\\
\Leftrightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = 3 (1)
\end{array}$
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}\geq 3$
Do đó $(1)$ xảy ra khi: $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}\Leftrightarrow a=b=c\Leftrightarrow \Delta ABC$ đều
=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi
Trả lời