Đề bài: $1.$ Tìm $x, y$ nguyên dương thỏa mãn phương trình: $3x + 5y = 26$.$2.$ Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh rằng: $(a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9$

Lời giải

Đề bài:
$1.$ Tìm $x, y$ nguyên dương thỏa mãn phương trình: $3x + 5y = 26$.$2.$ Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh rằng: $(a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9$
Lời giải

$1.$ Từ phương trình : $3x+5y=26$ suy ra :
$x=\frac{26-5y}{3} =-2y+9+\frac{y-1}{3}             (1)$
Vì $x,y$ nguyên nên $\frac{y-1}{3} =n$ là số nguyên
Ta được $y=1+3n,$ thay vào $(1)$ và rút gọn ta được $x=7-5n$
ĐS $x=7-5n, y=1+3n$ với $n$ là số nguyên bất kì
$2.$ Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
$a+b+c\geq  3\sqrt[3]{abc} $
$\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c} \geq  3\sqrt[3]{\frac{1}{abc} } $
Nhân từng vế với hai bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi