Đề bài: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq 2$Tìm giá trị lớn nhất của $P=xyz$

Lời giải

Đề bài:
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq 2$Tìm giá trị lớn nhất của $P=xyz$
Lời giải

Ta có: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq 2$
$\Leftrightarrow \left ( 1+x \right ) \left ( 1+y \right )+ \left ( 1+y \right ) \left ( 1+z \right )+ \left ( 1+z \right ) \left ( 1+x \right )\geq 2\left ( 1+x \right ) \left ( 1+y \right ) \left ( 1+z \right )$
$\Leftrightarrow3+2\left ( x+y+z \right )+xy+yz+zx\geq 2\left ( 1+x+y+z+xy+yz+zx+xyz \right )$
$
\Leftrightarrow 1\geq xy+yz+zx+2xyz\geq 4\sqrt[4]{xy.yz.zx.2xyz} =4\sqrt[4]{2P^{3}}$
$\Rightarrow P^{3}\leq \frac{1}{4^{4}.2}\Leftrightarrow P\leq \frac{1}{8}$
Dấu “=” xảy ra: $\Leftrightarrow x=y=z= \frac{1}{2}$
Vậy: $Max(P)= \frac{1}{8}$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi