Đề bài: Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:   $ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ca(c+a-2b)\geq 0$

Lời giải

Đề bài:
Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:   $ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ca(c+a-2b)\geq 0$
Lời giải

Biến đổi bất đẳng thức về dạng:
   $
\displaystyle \frac{a+b-2c}{c}+\frac{b+c-2a}{a}+\frac{c+a-2b}{b}\geq 0$.
   $
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b} \geq 6$.
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho VT ta được:
   $
\displaystyle \frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b} \geq6\sqrt[6]{\frac{a}{c}.\frac{b}{c}.\frac{b}{a}.\frac{c}{a}.\frac{a}{b}.\frac{c}{b} } =6$, đpcm.
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
      $
\displaystyle \frac{a}{c}=\frac{b}{c}=\frac{b}{a}=\frac{c}{a}=\frac{a}{b}=\frac{c}{b}\Leftrightarrow a=b=c$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi