Đề bài:    Cho ba đường tròn có chu vi $C_1, C_2, C_3$ từng đôi tiếp xúc ngoài  tại $A, B, C$. Vòng tròn nội tiếp tam giác $ABC$ có chu vi $C$.Chứng minh: $C\sqrt{3} \leq \sqrt[3]{C_1C_2C_3}$

Lời giải

Đề bài:
   Cho ba đường tròn có chu vi $C_1, C_2, C_3$ từng đôi tiếp xúc ngoài  tại $A, B, C$. Vòng tròn nội tiếp tam giác $ABC$ có chu vi $C$.Chứng minh: $C\sqrt{3} \leq \sqrt[3]{C_1C_2C_3}$
Lời giải

Ta thấy nếu gọi $O_1, O_2, O_3$ là tâm và $R_1, R_2, R_3$ tương ứng là bán kính của các đường tròn ấy; thì đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$, chính là đường tròn nội tiếp $\triangle O_1O_2O_3$
Gọi $r$ là bán kính đường tròn ấy thì:
  $r=\frac{S_{O_1O_2O_3}}{P_{O_1O_2O_3}}$, trong đó $S_{O_1O_2O_3}$ và $p_{O_1O_2O_3}$ tương ứng là diện tích nửa chu vi của $\triangle   O_1O_2O_3$.
Ta có: $O_1O_2=R_1+R_2; O_1O_3=R_1+R_3; O_2O_3=R_2+R_3$
Vậy $p_{O_1O_2O_3}=R_1+R_2R_3$
Theo công thức Hê-rông ta có:
   $S_{O_1O_2O_3}=\sqrt{(R_1+R_2+R_3)R_1R_2R_3}$ từ đó $r=\sqrt{\frac{R_1R_2R_3}{(R_1+R_2+R_3}}$
Theo bất đẳng thức Cô-si thì $R_1+R_2+R_3\geq 3\sqrt[3]{R_1R_2R_3}$ nên ta có:
   $r\leq \frac{\sqrt{R_1R_2R_3}}{\sqrt{3\sqrt[3]{R_1R_2R_3}}}$ hay $\sqrt{3}r\leq \sqrt[3]{R_1R_2R_3}$
Tức là $2\pi r\sqrt{3}\leq \sqrt[3]{8\pi^3.R_1R_2R_3}$ vậy $C\sqrt{3} \leq \sqrt[3]{C_1C_2C_3}$
$\Rightarrow $ điều phải chứng minh.
Dấu “=” có $\Leftrightarrow R_1=R_2=R_3$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác