• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Đề bài: $1/$CMR trong tam giác $ABC$ thì $A \ge 2B$ tương đương với điều kiện ${a^2} \ge b(b + c)$$2/$Cho tam giác $ABC$ có $A \ge 3B$. CMR khi đó  ${(a – b)^2}(a + b) \ge b{c^2}$   Mệnh đề đảo có đúng không ?$3/$Cho tam giác $ABC$ có  $A \ge B + 2C$. CMR khi đó  $\cos C \le \frac{{a + b}}{{2a}}$

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức trong tam giác

Đề bài: $1/$CMR trong tam giác $ABC$ thì $A \ge 2B$ tương đương với điều kiện ${a^2} \ge b(b + c)$$2/$Cho tam giác $ABC$ có $A \ge 3B$. CMR khi đó  ${(a – b)^2}(a + b) \ge b{c^2}$   Mệnh đề đảo có đúng không ?$3/$Cho tam giác $ABC$ có  $A \ge B + 2C$. CMR khi đó  $\cos C \le \frac{{a + b}}{{2a}}$

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
$1/$CMR trong tam giác $ABC$ thì $A \ge 2B$ tương đương với điều kiện ${a^2} \ge b(b + c)$$2/$Cho tam giác $ABC$ có $A \ge 3B$. CMR khi đó  ${(a – b)^2}(a + b) \ge b{c^2}$   Mệnh đề đảo có đúng không ?$3/$Cho tam giác $ABC$ có  $A \ge B + 2C$. CMR khi đó  $\cos C \le \frac{{a + b}}{{2a}}$
Lời giải

$1/$ Ta có $A \ge 2B \Leftrightarrow A – B \ge B$
Có $2$ khả năng sau
$a/$ Nếu  $A – B
$b/$ Nếu  $A – B > {90^0}$. Khi đó  $\sin (A – B) = \sin (\pi  – A + B)$
Rõ
ràng $\pi  – A + B > B$( vì điều này  $ \Leftrightarrow \pi  – A
> 0$) và cả $2$ vế đều là góc nhọn dương nên $\sin (\pi  – A + B)
> \sin B$ tức là $sin(A-B)>sinB$
Như vậy từ $(1)$ suy ra     $A \ge 2B \Leftrightarrow \sin (A – B) \ge \sin B$                                               
$2/$ Xét tam giác có $A \ge 3B$
Do $A \ge 3B$,nên gọi $M$ là điểm trên $BC$ sao cho. Khi đó  
Suy ra :

$\begin{array}{l}
\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow AM = \frac{{bc}}{a}\\
\frac{{MC}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow MC = \frac{{{b^2}}}{a}
\end{array}$
Từ đó có $MB = BC – MC = a – \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}$                                  
Xét tam giác $MAB$ có, theo phần $(1)$ ta có
                              $\begin{array}{l}
B{M^2} \ge AM(AB + AM) \Leftrightarrow \frac{{{{({a^2} – {b^2})}^2}}}{{{a^2}}} \ge \frac{{bc}}{{{a^2}}}(c + \frac{{bc}}{a})\\
\end{array}$
                                                                   $\begin{array}{l}
 \Rightarrow \frac{{{{(a + b)}^2}{{(a – b)}^2}}}{{{a^2}}} \ge \frac{{bc.c(a + b)}}{{{a^2}}}\\
 \Rightarrow (a + b){(a – b)^2} \ge b{c^2}
\end{array}$
Đó là (đpcm)
Để xét mệnh đề đảo có đúng không, ta đưa ra ví dụ sau:
Lấy  $a = \frac{6}{5},b = 2,c = 1$.Rõ ràng $b=max(a,b,c)$ và $bRõ ràng ta có   $(a + b){(a – b)^2} = (\frac{6}{5} + 2){(\frac{6}{5} – 2)^2} = 256$
                                                                     $b{c^2} = 2$
Vì $\frac{{256}}{{125}} > 2 \Rightarrow (a + b){(a – b)^2} > b{c^2}$
Tuy nhiên vì $aVí dụ trên chứng tỏ rằng mệnh đề đảo nói chung là không đúng     
$3/$ Từ $A \ge B + 2C \Rightarrow A – C \ge B + C                                            (2)$
Nếu  $A – C \le {90^0}$ thì ta có ${90^0} \ge A – C \ge B + C > 0 \Rightarrow \sin (A – C) \ge \sin (B + C)$
Nếu  $A – C > {90^0} \Rightarrow \pi  – (A – C) = \pi  – A + C = B + 2C Rõ ràng từ   ${90^0} > B + 2C > B + C$,ta có
                                $\sin (A – C) = \sin (B + 2C) > \sin (B + C)$
Tóm lại từ $(2)$ suy ra           $\sin (A – C) \ge \sin (B + C)$
                                         $\begin{array}{l}
 \Rightarrow \sin A\cos C – \sin C\cos A \ge \sin B\cos C + \sin C\cos B\\
 \Rightarrow \cos C(\sin A – \sin B) \ge \sin C(\cos B + \cos C)\\
 \Rightarrow 2\cos Cc{\rm{os}}\frac{{A + B}}{2}\sin \frac{{A – B}}{2} \ge 2\sin C\cos \frac{{A + B}}{2}c{\rm{os}}\frac{{A – B}}{2}
\end{array}$
Do $\cos \frac{{A + B}}{2} = \sin \frac{C}{2} > 0$,nên suy ra     $\cos C\sin \frac{{A – B}}{2} \ge \sin Cc{\rm{os}}\frac{{A – B}}{2}$
                                                           $ \Rightarrow tan\frac{{A – B}}{2} \ge tanC                                   (3)$
Áp dụng định lý hàm số tang,ta có
$\frac{{a – b}}{{a + b}} = \frac{{tan\frac{{A – B}}{2}}}{{tan\frac{{A + B}}{2}}} \Rightarrow tan\frac{{A – B}}{2} = \frac{{a – b}}{{a + b}}tan\frac{{A + B}}{2} = \frac{{a – b}}{{(a + b)tan\frac{C}{2}}}                             (4)$ 
Từ $(3)(4)$ ta có              $\frac{{a – b}}{{a + b}} \ge \frac{{2t{g^2}\frac{C}{2}}}{{1 – t{g^2}\frac{C}{2}}}$
                                $
\begin{array}{l}
 \Rightarrow \frac{{a – b}}{{a + b}} \ge \frac{{2\frac{{1 – \cos C}}{{1 + \cos C}}}}{{1 – \frac{{1 – \cos C}}{{1 + \cos C}}}}\\
 \Rightarrow \frac{{a – b}}{{a + b}} \ge \frac{{1 – \cos C}}{{\cos C}}\\
 \Rightarrow \frac{{a – b}}{{a + b}} + 1 \ge \frac{1}{{\cos C}} \Rightarrow \frac{{2a}}{{a + b}} \ge \frac{1}{{\cos C}} \Rightarrow (đpcm)
\end{array}$
$4/$ Ta có bài toán tương tự:Cho tam giác $ABC$ có $A=2B$
                                          CMR $\frac{1}{2} Xin dành cho bạn đọc

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức trong tam giác

Bài liên quan:

  1. Đề bài:  Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: $m_a + m_b + m_c \le r_a + r_b + r_c$
  2. Đề bài: Cho $\triangle ABC$ chứng minh rằng:   $  \sin{\frac{A}{2}}. \sin{\frac{B}{2}}. \sin{\frac{C}{2}}  \leq \frac{1}{8}$
  3. Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{{h_a}}}{{{l_a}}} \ge \sqrt {\frac{{2r}}{R}} $
  4. Đề bài: Gọi $m_{a},m_{b},m_{c} $ là độ dài tương ứng của $3$ đường trung tuyến kẻ từ $A,B,C$ của $\triangle ABC$ và $h_{a},h_{b},h_{c} $ là độ dài $3$ đường cao kẻ từ $A,B,C$ tương ứng.Chứng minh rằng :$\left ( m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2} \right )\left ( h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2} \right )\geq 27S^{2}$ với $S$ là diện tích $\triangle ABC$.
  5. Đề bài: Cho $\Delta  ABC$.Chứng minh rằng :a)  $\cos 2A-\cos 2B+\cos 2C\leq \frac{3}{2}$b)  $\cos 2A+\cos 2B-\cos 2C\leq \frac{3}{2}$
  6. Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{{m_a}}}{{{l_a}}} \ge \frac{{b + c}}{{2\sqrt {bc} }}$
  7. Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ ta có:        $a^2MA^2 + b^2MB^2 + c^2MC^2 \ge \frac{{3{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$
  8. Đề bài: Cho tam giác $ABC$  thỏa mãn :                    $\cos A+\cos B+\cos C+\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C=0     (1)$Chứng minh $\Delta ABC$ đều.
  9. Đề bài: Cho $a, b, c$ là độ dài các cạnh và $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$
  10. Đề bài: Chứng minh rằng nếu $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng $3$ thì                             \(3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} + 4abc \ge 13\)
  11. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn:   $\cos A + \cos B+\cos C =\sin \frac{ A}{ 2} + \sin \frac{ B}{ 2} +\sin \frac{C }{ 2}   (1)$.Chứng minh  $\Delta ABC$ đều.
  12. Đề bài: Cho $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác. Chứng minh:$\displaystyle \frac{a}{2b+2c-a}+\frac{b}{2c+2a-b}+\frac{c}{2a+2b-c}\geq 1$
  13. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có các góc $A, B, C$ thỏa mãn hệ thức \({\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2{\sin ^2}A\)Chứng minh rằng \(A \le {60^{0}}\)
  14. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn:                    $\frac{ 1}{a^3+b^3+abc } +\frac{1 }{ b^3+c^3+abc} +\frac{ 1}{ c^3+a^3+abc} = \frac{1 }{ abc}    (1)$. Chứng minh $\Delta ABC$ đều.
  15. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $a, b, c.$Chứng minh $a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc + ca)$

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.