Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ ta có:        $a^2MA^2 + b^2MB^2 + c^2MC^2 \ge \frac{{3{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$

Lời giải

Đề bài:
Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ ta có:        $a^2MA^2 + b^2MB^2 + c^2MC^2 \ge \frac{{3{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$
Lời giải

Ta có:
    $\begin{array}{l}
\left( {{a^2}\overrightarrow {MA}  + {b^2}\overrightarrow {MB}  + {c^2}\overrightarrow {MC} } \right)^2 \ge 0\\
 \Rightarrow {a^4}M{A^2} + {b^4}M{B^2} + {c^4}M{C^2}
+ 2\left( {{b^2}{c^2}\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC}  + {c^2}{a^2}\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA}  + {a^2}{b^2}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} } \right) \ge 0\\
 \Rightarrow {a^4}M{A^2} + {b^4}M{B^2} + {c^4}M{C^2} + {b^2}{c^2}\left( {M{B^2} + M{C^2} – {a^2}} \right) + \\
+ {c^2}{a^2}\left( {M{C^2} + M{A^2} – {b^2}} \right) + {a^2}{b^2}\left( {M{A^2} + M{B^2} – {c^2}} \right) \ge 0\\
 \Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2}M{A^2} + {b^2}M{B^2} + {c^2}M{C^2}} \right) \ge 3{a^2}{b^2}{c^2}\\
 \Rightarrow {a^2}M{A^2} + {b^2}M{B^2} + {c^2}M{C^2} \ge \frac{{3{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}
\end{array}$
        Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow {a^2}\overrightarrow {MA}  + {b^2}\overrightarrow {MB}  + {c^2}\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 $
            $ \Leftrightarrow M$ là điểm Lơmmoan của $\Delta ABC$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác