• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ ta có:        $a^2MA^2 + b^2MB^2 + c^2MC^2 \ge \frac{{3{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức trong tam giác

Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ ta có:        $a^2MA^2 + b^2MB^2 + c^2MC^2 \ge \frac{{3{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ ta có:        $a^2MA^2 + b^2MB^2 + c^2MC^2 \ge \frac{{3{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$
Lời giải

Ta có:
    $\begin{array}{l}
\left( {{a^2}\overrightarrow {MA}  + {b^2}\overrightarrow {MB}  + {c^2}\overrightarrow {MC} } \right)^2 \ge 0\\
 \Rightarrow {a^4}M{A^2} + {b^4}M{B^2} + {c^4}M{C^2}
+ 2\left( {{b^2}{c^2}\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC}  + {c^2}{a^2}\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA}  + {a^2}{b^2}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} } \right) \ge 0\\
 \Rightarrow {a^4}M{A^2} + {b^4}M{B^2} + {c^4}M{C^2} + {b^2}{c^2}\left( {M{B^2} + M{C^2} – {a^2}} \right) + \\
+ {c^2}{a^2}\left( {M{C^2} + M{A^2} – {b^2}} \right) + {a^2}{b^2}\left( {M{A^2} + M{B^2} – {c^2}} \right) \ge 0\\
 \Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2}M{A^2} + {b^2}M{B^2} + {c^2}M{C^2}} \right) \ge 3{a^2}{b^2}{c^2}\\
 \Rightarrow {a^2}M{A^2} + {b^2}M{B^2} + {c^2}M{C^2} \ge \frac{{3{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}
\end{array}$
        Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow {a^2}\overrightarrow {MA}  + {b^2}\overrightarrow {MB}  + {c^2}\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 $
            $ \Leftrightarrow M$ là điểm Lơmmoan của $\Delta ABC$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức trong tam giác

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Cho tam giác $ABC$  thỏa mãn :                    $\cos A+\cos B+\cos C+\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C=0     (1)$Chứng minh $\Delta ABC$ đều.
  2. Đề bài: Cho $a, b, c$ là độ dài các cạnh và $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$
  3. Đề bài: Chứng minh rằng nếu $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng $3$ thì                             \(3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} + 4abc \ge 13\)
  4. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn:   $\cos A + \cos B+\cos C =\sin \frac{ A}{ 2} + \sin \frac{ B}{ 2} +\sin \frac{C }{ 2}   (1)$.Chứng minh  $\Delta ABC$ đều.
  5. Đề bài: Cho $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác. Chứng minh:$\displaystyle \frac{a}{2b+2c-a}+\frac{b}{2c+2a-b}+\frac{c}{2a+2b-c}\geq 1$
  6. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có các góc $A, B, C$ thỏa mãn hệ thức \({\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2{\sin ^2}A\)Chứng minh rằng \(A \le {60^{0}}\)
  7. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn:                    $\frac{ 1}{a^3+b^3+abc } +\frac{1 }{ b^3+c^3+abc} +\frac{ 1}{ c^3+a^3+abc} = \frac{1 }{ abc}    (1)$. Chứng minh $\Delta ABC$ đều.
  8. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $a, b, c.$Chứng minh $a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc + ca)$
  9. Đề bài: Cho $a,b,c$ là độ dài $3$ cạnh $\triangle ABC,a\leq b\leq c$Chứng minh rằng: $\left ( a+b+c \right )^{2}\leq 9bc$
  10. Đề bài: Cho tam giác $ABC$, chứng minh rằng bất đẳng thức:$2\cos C+6\cos A+3\cos B
  11. Đề bài: Chứng minh rằng:$\tan^{n} A+\tan^{n} B+\tan^{n} C \geq 3 (\sqrt {3})^{n}, \forall n \geq 1 và  \Delta ABC  nhọn$
  12. Đề bài: Chứng minh rằng nếu $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng $3$ thì                             \(3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} + 4abc \ge 13\)
  13. Đề bài:  Cho $a,b,c$ là độ dài các cạnh tam giác, chứng minh:         $Q=a^9b(a-b)+b^9c(b-c)+c^9a(c-a) \geq 0$
  14. Đề bài: Cho $\triangle ABC$ có $r,R$ theo thứ tự là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp, chứng minh rằng:  $\frac{r}{R}\leq \frac{1}{2}$
  15. Đề bài: Gọi $a,b,c$ là độ dài các cạnh $\Delta ABC$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức                                          $Q=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}$

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2023) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.