• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ ta có:        $a^2MA^2 + b^2MB^2 + c^2MC^2 \ge \frac{{3{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức trong tam giác

Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ ta có:        $a^2MA^2 + b^2MB^2 + c^2MC^2 \ge \frac{{3{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ ta có:        $a^2MA^2 + b^2MB^2 + c^2MC^2 \ge \frac{{3{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$
Lời giải

Ta có:
    $\begin{array}{l}
\left( {{a^2}\overrightarrow {MA}  + {b^2}\overrightarrow {MB}  + {c^2}\overrightarrow {MC} } \right)^2 \ge 0\\
 \Rightarrow {a^4}M{A^2} + {b^4}M{B^2} + {c^4}M{C^2}
+ 2\left( {{b^2}{c^2}\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC}  + {c^2}{a^2}\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA}  + {a^2}{b^2}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} } \right) \ge 0\\
 \Rightarrow {a^4}M{A^2} + {b^4}M{B^2} + {c^4}M{C^2} + {b^2}{c^2}\left( {M{B^2} + M{C^2} – {a^2}} \right) + \\
+ {c^2}{a^2}\left( {M{C^2} + M{A^2} – {b^2}} \right) + {a^2}{b^2}\left( {M{A^2} + M{B^2} – {c^2}} \right) \ge 0\\
 \Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2}M{A^2} + {b^2}M{B^2} + {c^2}M{C^2}} \right) \ge 3{a^2}{b^2}{c^2}\\
 \Rightarrow {a^2}M{A^2} + {b^2}M{B^2} + {c^2}M{C^2} \ge \frac{{3{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}
\end{array}$
        Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow {a^2}\overrightarrow {MA}  + {b^2}\overrightarrow {MB}  + {c^2}\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 $
            $ \Leftrightarrow M$ là điểm Lơmmoan của $\Delta ABC$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức trong tam giác

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có số đo ba cạnh là $a, b, c$ và chu vi $2p$. Giả sử  $ c \le b \le a $. Chứng minh rằng:  $p^2 \le \frac{9}{4}ab. $
  2. Đề bài:    Cho ba đường tròn có chu vi $C_1, C_2, C_3$ từng đôi tiếp xúc ngoài  tại $A, B, C$. Vòng tròn nội tiếp tam giác $ABC$ có chu vi $C$.Chứng minh: $C\sqrt{3} \leq \sqrt[3]{C_1C_2C_3}$
  3. Đề bài: Cho $a, b, c$ là số đo 3 cạnh của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:  $ a^2 + b^2 + c^2 < 2( ab + bc + ca) $ 
  4. Đề bài: Biết rằng $a, b, c$ là độ dài các cạnh của một tam giác, $p$ là nửa chu vi, chứng minh rằng:                          \(\sqrt p  < \sqrt {p - a}  + \sqrt {p - b}  + \sqrt {p - c}  \le \sqrt {3p} \)
  5. Đề bài: Cho tam giác $ABC$, có $b \ge c$. Chứng minh rằng :$l_b \le l_c$
  6. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có $2A + 3B = \pi $            CMR: $4(a+b)\ \le 5c$
  7. Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{1}{{2Rr}} \le \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \le \frac{1}{{4{r^2}}}$
  8. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện:  $tanA+tanC=2tanB$            CMR: $\cos A + \cos C \le \frac{{3\sqrt 2 }}{4}$
  9. Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{m_a.m_b.m_c}}{{m_a^2 + m_b^2 + m_c^2}} \ge r$
  10. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $sinA+sinC=3sinB$            CMR ${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{2}{3}$
  11. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Chứng  minh rằng : $h_a \le \left( {1 + \sqrt 2 } \right)r \le R$
  12. Đề bài: $1/$CMR trong tam giác $ABC$ thì $A \ge 2B$ tương đương với điều kiện ${a^2} \ge b(b + c)$$2/$Cho tam giác $ABC$ có $A \ge 3B$. CMR khi đó  ${(a – b)^2}(a + b) \ge b{c^2}$   Mệnh đề đảo có đúng không ?$3/$Cho tam giác $ABC$ có  $A \ge B + 2C$. CMR khi đó  $\cos C \le \frac{{a + b}}{{2a}}$
  13. Đề bài:  Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: $m_a + m_b + m_c \le r_a + r_b + r_c$
  14. Đề bài: Cho $\triangle ABC$, chứng minh rằng: a.   $l_a\leq m_a$                                       b.$\frac{l_a+l_b}{c}+\frac{l_b+l_c}{a}+\frac{l_c+l_a}{b}\leq 3 \sqrt{3}$
  15. Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{{h_a}}}{{{l_a}}} \ge \sqrt {\frac{{2r}}{R}} $

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.