Đề bài: Cho $\triangle ABC$, chứng minh rằng: a.   $l_a\leq m_a$                                       b.$\frac{l_a+l_b}{c}+\frac{l_b+l_c}{a}+\frac{l_c+l_a}{b}\leq 3 \sqrt{3}$

Lời giải

Đề bài:
Cho $\triangle ABC$, chứng minh rằng: a.   $l_a\leq m_a$                                       b.$\frac{l_a+l_b}{c}+\frac{l_b+l_c}{a}+\frac{l_c+l_a}{b}\leq 3 \sqrt{3}$
Lời giải

$a.$
Ta có   : $l_a=\frac{2bc}{b+c}.\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}=\frac{2\sqrt{bc}}{b+c}\sqrt{p(p-a)}$
                                             $\leq \frac{b+c}{b+c}\sqrt{p(p-a)}=\sqrt{p(p-a)}     (1)$
    $m^2_a=\frac{1}{4}(2b^2+2c^2-a^2)\geq \frac{1}{4}[(b+c)^2-a^2]=\frac{1}{4}(b+c+a)(b+c-a)=p(p-a)$
    $m_a\geq \sqrt{p(p-a)}  (2)$.
Từ $(1),(2)$ , suy ra $l_a\leq m_a$, dấu $”=”$ xảy ra khi và chỉ khi $\triangle ABC$ đều.
$b.$
Viết lại $VT$ của bất đẳng thức dưới dạng:
    $VT=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})l_c+(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}).l_a+(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})l_b$
           $=\frac{a+b}{ab}.\frac{ \displaystyle 2ab.\cos \frac{C}{2}}{a+b}+\frac{b+c}{bc}.\frac{
\displaystyle 2bc\cos \frac{A}{2}}{b+c}+\frac{c+a}{ca}.\frac{
\displaystyle 2ca\cos \frac{B}{2}}{c+a}$
           $=2(\cos \frac{C}{2}+\cos \frac{A}{2}+\cos \frac{B}{2})\leq 2.\frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$
Dấu $”=”$ xảy ra khi và chỉ khi $\triangle ABC$ đều.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác