Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{{m_a}}}{{{l_a}}} \ge \frac{{b + c}}{{2\sqrt {bc} }}$

Lời giải

Đề bài:
Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{{m_a}}}{{{l_a}}} \ge \frac{{b + c}}{{2\sqrt {bc} }}$
Lời giải

$\frac{{{m_a}}}{{{l_a}}} \ge \frac{{b + c}}{{2\sqrt {b + c} }} \Leftrightarrow \frac{{{m_a}^2}}{{{l_a}^2}} \ge \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{{4bc}} \Leftrightarrow \frac{{4{m_a}^2}}{{{l_a}^2}} \ge \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{{bc}}$
    $\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) – {a^2}}}{{\frac{{bc}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}\left( {a + b + c} \right)\left( { – a + b + c} \right)}} \ge \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{{bc}}\\
 \Leftrightarrow 2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) – {a^2} \ge {\left( {b + c} \right)^2} – {a^2}\\
 \Leftrightarrow {\left( {b – c} \right)^2} \ge 0 & \left( \text{đpcm} \right)
\end{array}$
Luôn đúng với mọi $b, c$.
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow b = c\Leftrightarrow \triangle ABC$ cân tại $A$..

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác