Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{m_a.m_b.m_c}}{{m_a^2 + m_b^2 + m_c^2}} \ge r$

Lời giải

Đề bài:
Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{m_a.m_b.m_c}}{{m_a^2 + m_b^2 + m_c^2}} \ge r$
Lời giải

Đặt ${S_m}$ là diện tích tam giác với ba cạnh là ${m_a},{m_b},{m_c}$. Ta có: ${S_m} = \frac{3}{4}S$. Vậy:
    $\begin{array}{l}
\frac{{{m_a}{m_b}{m_c}}}{{{m_a}^2 + {m_b}^2 + {m_c}^2}} \ge r \Leftrightarrow \frac{{4{R_m}.{S_m}}}{{{m_a}^2 + {m_b}^2 + {m_c}^2}} \ge r\\
 \Leftrightarrow \frac{{4{R_m}\frac{3}{4}S}}{{\frac{3}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} \ge r \Leftrightarrow \frac{{4{R_m}.p.r}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} \ge r\\
 \Leftrightarrow {R_m} \ge \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2\left( {a + b + c} \right)}}
\end{array}$
Bất đẳng thức trên đúng theo bài 103643 (đpcm).
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow \Delta ABC$đều.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác