Lời giải
Đề bài:
Chứng minh rằng nếu $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng $3$ thì \(3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} + 4abc \ge 13\)
Lời giải
Có \(3 – 2a = a + b + c – 2a = b + c – a > 0\). Do đó theo Cosi ta có:
$(3-2a)(3-2b)=(b+c-a)(a+c-b)\leq (\frac{b+c-a+a+c-b}{2})^2=c^2$
Làm tương tự ta thu được:
$
(3-2a)(3-2b)(3-2c)\leq abc$
$\Rightarrow 27-18(a+b+c)+12(ab+bc+ca)-8abc\leq abc$
$\Rightarrow 27-18.3+6(9-(a^2+b^2+c^2))\leq 9abc$
$\Rightarrow 6(a^2+b^2+c^2) +9abc\geq 27$ , $ (1)$.
mặt khác ta có $3=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow -abc\geq -1$, $(2)$.
Cộng (1) với (2) theo vế rồi chia cả 2 vế của bất đẳng thức thu được cho 2, ta được điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c \\ a=b=c\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1\)
=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác
Trả lời