Lời giải
Đề bài:
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $\frac{ 1}{a^3+b^3+abc } +\frac{1 }{ b^3+c^3+abc} +\frac{ 1}{ c^3+a^3+abc} = \frac{1 }{ abc} (1)$. Chứng minh $\Delta ABC$ đều.
Lời giải
Ta có $(a-b)^2 \geq 0$ dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b$
$\Leftrightarrow a^2+b^2-ab \geq ab$ (nhân $2$ vế với $a+b >0$)
$\Leftrightarrow (a+b)(a^2+b^2-ab) \geq ab(a+b)$
$\Leftrightarrow a^3+b^3 \geq ab(a+b)$
$\Leftrightarrow a^3+b^3+abc \geq ab(a+b)+abc= ab(a+b+c)$
$\Leftrightarrow \frac{1 }{ a^3+b^3+abc} \leq \frac{ 1}{ ab(a+b+c)} (2)$
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b$
Tương tự : $\frac{ 1}{ b^3+c^3+abc} \leq \frac{1 }{bc(a+b+c) } (3)$
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $b=c$
$\frac{ 1}{ c^3+ba^3+abc} \leq \frac{ 1}{ca(a+b+c) } (4)$
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=c$
Cộng vế với vế $(2), (3) , (4)$ ta được :
$\frac{ 1}{ a^3+b^3+abc}+\frac{ 1}{ b^3+c^3+abc}+\frac{1 }{a^3+c^3+abc } \leq \frac{ 1}{a+b+c } \left ( \frac{1 }{ ab} +\frac{ 1}{ac } +\frac{ 1}{bc} \right ) \\= \frac{ 1}{ abc} (5)$ dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c.$
Từ $(1)$ và $(5)$ ta được $(1)$ chỉ đúng khi ở $(5)$ có dấu đẳng thức.. Tức là khi tam giác $ABC$ đều. Vậy $(1)$ đúng thì tam giác $ABC$ đều.
=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác
Trả lời