Đề bài: Chứng minh rằng trong mọi tam giác $ABC$ nhọn ta đều có:             $\frac{2}{3}(\sin A+\sin B+\sin C)+\frac{1}{3}(\tan A+\tan B+\tan C)> \pi$.

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng trong mọi tam giác $ABC$ nhọn ta đều có:             $\frac{2}{3}(\sin A+\sin B+\sin C)+\frac{1}{3}(\tan A+\tan B+\tan C)> \pi$.
Lời giải

Xét hàm số :
            $f(x)=\frac{2}{3}\sin x+\frac{1}{3}\tan x-x$  với $ 0Đạo hàm :
            $f^'(x)=\frac{2}{3}\cos x+\frac{1}{3}.\frac{1}{\cos^2x}-1$
                     $=\frac{1}{3}(\cos x+\cos x+\frac{1}{\cos^2x})-1\geq \frac{1}{3}.3-1=0$,
            $\Rightarrow $ hàm số $f(x)$ đồng biến với $0f(0)$
            $\Leftrightarrow \frac{2}{3}\sin x+\frac{1}{3}\tan x-x>0$  với $ 0Vậy, ta được:
    $\frac{2}{3}(\sin A+\sin B+\sin C)+\frac{1}{3}(\tan A+\tan B+\tan C)-(A+B+C)$
    $=(\frac{2}{3}\sin A+\frac{1}{3}\tan A-A)+(\frac{2}{3}\sin B+\frac{1}{3}\tan B-B)+(\frac{2}{3}\sin C+\frac{1}{3}\tan C-C)>0$
    $\Leftrightarrow \frac{2}{3}(\sin A+\sin B+\sin C)+\frac{1}{3}(\tan A+\tan B+\tan C)>A+B+C$
    $\Leftrightarrow \frac{2}{3}(\sin A+\sin B+\sin C)+\frac{1}{3}(\tan A+\tan B+\tan C) >\pi$, đpcm.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác