Đề bài: Gọi $m_{a},m_{b},m_{c} $ là độ dài tương ứng của $3$ đường trung tuyến kẻ từ $A,B,C$ của $\triangle ABC$ và $h_{a},h_{b},h_{c} $ là độ dài $3$ đường cao kẻ từ $A,B,C$ tương ứng.Chứng minh rằng :$\left ( m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2} \right )\left ( h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2} \right )\geq 27S^{2}$ với $S$ là diện tích $\triangle ABC$.

Lời giải

Đề bài:
Gọi $m_{a},m_{b},m_{c} $ là độ dài tương ứng của $3$ đường trung tuyến kẻ từ $A,B,C$ của $\triangle ABC$ và $h_{a},h_{b},h_{c} $ là độ dài $3$ đường cao kẻ từ $A,B,C$ tương ứng.Chứng minh rằng :$\left ( m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2} \right )\left ( h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2} \right )\geq 27S^{2}$ với $S$ là diện tích $\triangle ABC$.
Lời giải

Ta có: $m_{a}^{2}=\frac{1}{4}\left ( 2b^{2}+2c^{2}-a^{2} \right );m_{b}^{2}=\frac{1}{4}\left ( 2c^{2}+2a^{2}-b^{2} \right );$
           $m_{c}^{2}=\frac{1}{4}\left ( 2a^{2}+2b^{2}-c^{2} \right )$
$\Rightarrow m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=\frac{3}{4}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$
Không giảm tính tổng quát,ta xem $a\leq b\leq c$
$\Leftrightarrow \frac{2S}{a}\geq\frac{2S}{b}\geq \frac{2S}{c}$
$\Leftrightarrow h_{a}\geq h_{b}\geq h_{c}$
Vậy: $\begin{cases}a^{2}\leq b^{2}\leq c^{2} \\ h^{2}_{a}\geq h^{2}_{b}\geq h^{2}_{c} \end{cases}$
Theo BĐT Trêbưsép:
$\left ( m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2} \right )\left ( h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2} \right )=\frac{3}{4}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\left ( h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2} \right )$
$\geq \frac{3}{4}.3\left ( a^{2} h_{a}^{2}+b^{2}h_{b}^{2}+c^{2}h_{c}^{2} \right ) \geq \frac{9}{4}.12S^{2}=27S^{2}$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \triangle ABC$ đều

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác