Đề bài: Cho tam giác $ABC$  thỏa mãn :                    $\cos A+\cos B+\cos C+\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C=0     (1)$Chứng minh $\Delta ABC$ đều.

Lời giải

Đề bài:
Cho tam giác $ABC$  thỏa mãn :                    $\cos A+\cos B+\cos C+\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C=0     (1)$Chứng minh $\Delta ABC$ đều.
Lời giải

Trước hết chứng minh cho $(1)$ đúng thì $\Delta ABC$ nhọn vì:
               $\cos A+\cos B+\cos C = 1 + 4 \sin \frac{ A}{ 2} \sin \frac{ B}{2 }\sin \frac{ C}{ 2}  $
               $\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C=-1-4 \cos A \cos B \cos C$
Vậy $(1)  \Leftrightarrow 1+4 \sin \frac{ A}{ 2} \sin \frac{ B}{ 2} \sin \frac{ C}{2 } -1-4 \cos A \cos B \cos C=0$
                $\Leftrightarrow \cos A \cos B \cos C = \sin \frac{A }{2 } \sin \frac{B }{2 } \sin \frac{ C}{ 2} > 0    (5) $
                $\Leftrightarrow \cos A \cos B \cos C >0 $ nên $A,B,C$ nhọn.
Ta có :     $\cos A \cos B=\frac{ 1}{ 2} [\cos (A+B)+\cos (A-B)]$
Vì $0Do đó $\cos A \cos B \leq \frac{ 1}{ 2} (1-\cos C)$
                $\Leftrightarrow \cos A \cos B \leq \sin ^2 \frac{ C}{ 2}   (2).$ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $A=B$
                      $\cos A \cos C \leq \sin ^2 \frac{ B}{ 2}  (3).$  Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $A=C$
                      $\cos B \cos C \leq \sin ^2 \frac{ A}{ 2}   (4).$ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $B=C.$
Nhân vế với vế của $(2),(3),(4)$ các vế đều dương với nhau ta được:
                      $(\cos A \cos B \cos C)^2 \leq \left ( \sin \frac{ A}{ 2} \sin \frac{ B}{ 2} \sin \frac{ C}{ 2}\right )^2$
                $\Leftrightarrow \cos A \cos B \cos C \leq \sin \frac{ A}{ 2} \sin \frac{B }{2 } \sin \frac{C }{2 }  (6)$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C.$
Từ $(5)$ và $(6)$ ta được $(5)$ chỉ đúng khi ở $(6)$ có dấu đẳng thức. Khi $\Delta ABC$ đều. Vậy $(1)$ đúng thì $\Delta ABC$ đều.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác