Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có các góc $A, B, C$ thỏa mãn hệ thức \({\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2{\sin ^2}A\)Chứng minh rằng \(A \le {60^{0}}\)

Lời giải

Đề bài:
Cho tam giác $ABC$ có các góc $A, B, C$ thỏa mãn hệ thức \({\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2{\sin ^2}A\)Chứng minh rằng \(A \le {60^{0}}\)
Lời giải

Ta có:
\({\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2{\sin ^2}A \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 2{a^2}\)

Theo định lý hàm số Côsin:
\(\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}} = \dfrac{{{b^2} + {c^2} – \dfrac{1}{2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}{{2bc}} = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{{4bc}} \ge \dfrac{{2bc}}{{4bc}} = \dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow A \le {60^0}\) (ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác