Lời giải
Đề bài:
Cho $a, b, c$ là độ dài các cạnh và $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$
Lời giải
Có $\frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2} \leq \frac{1}{a^2-(b-c)^2} +\frac{1}{b^2-(c-a)^2} +\frac{1}{c^2-(a-b)^2} $
$=\frac{1}{4(p-c)(p-b)} +\frac{1}{4(p-a)(p-c)}+\frac{1}{4(p-b)(p-a)}$
$=\frac{(p-a)+(p-b)+(p-c)}{4(p-a)(p-b)(p-c)} =\frac{p}{4(p-a)(p-b)(p-c)} $
$=\frac{p^2}{4p(p-a)(p-b)(p-c)} =\frac{p^2}{4S^2} =\frac{1}{4r^2} $
$\Rightarrow \frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2} \leq \frac{1}{4r^2} $
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow b-c=c-a=a-b=0\Leftrightarrow a=b=c\Leftrightarrow \Delta ABC$ đều
=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác
Trả lời