Đề bài:  Cho $a,b,c$ là độ dài các cạnh tam giác, chứng minh:         $Q=a^9b(a-b)+b^9c(b-c)+c^9a(c-a) \geq 0$

Lời giải

Đề bài:
 Cho $a,b,c$ là độ dài các cạnh tam giác, chứng minh:         $Q=a^9b(a-b)+b^9c(b-c)+c^9a(c-a) \geq 0$
Lời giải

Ta chứng minh với bài toán tổng quát hơn
Cho $a,b,c$ là độ dài các cạnh tam giác, chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n>1$ luôn có $Q=a^nb(a-b)+b^nc(b-c)+c^na(c-a) \geq 0      (1)$
* Trước hết chứng minh với $n=2$
Đặt $a+b-c=2x>0, a-b+c=2y>0, b+c-a=2z>0$
$\Rightarrow a=x+y, b=y+z, c=z+x$
Biểu thức $Q$ trở thành
$Q=xy^3+yz^3+zx^3-xyz(x+y+z)=xyz[\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}-(x+y+z)]$
Theo Svacxo: $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}-(x+y+z) \geq 0 \Rightarrow Q \geq 0$
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $x=y=z$. vậy khi $n=2$, ta có $Q \geq 0$
Không mất tính tổng quát giả sử $c \leq b\leq a$
* Giả sử $(1)$ đúng với $n$ tức là
$a^nb(a-b)+b^nc(b-c)+c^na(c-a) \geq 0 \Leftrightarrow  b^nc(b-c) \geq -a^nb(a-b)-c^na(c-a)$
$\Rightarrow b^{n+1}c(a-b)\geq -a^{n}b^2(a-b)-c^nab(c-a)$
$\Rightarrow a^{n+1}b(a-b)+b^{n+1}c(b-c)+c^{n+1}a(c-a) \geq a^{n+1}b(a-b)-a^nb^2(a-b)-c^nab(c-a)$
                                                            $+c^{n+1}a(c-a)=a^nb(a-b)^2+ca^n(c-a)(c-b) \geq 0$
Vậy $Q \geq 0$ đúng với $n+1$. Theo nguyên lý quy nạp $Q \geq 0.\forall n$. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c \Leftrightarrow  \Delta ABC$ đều

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác