Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $sinA+sinC=3sinB$            CMR ${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{2}{3}$

Lời giải

Đề bài:
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $sinA+sinC=3sinB$            CMR ${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{2}{3}$
Lời giải

Từ giả thiết và theo định lý hàm số sin, ta có: $a + c = 3b \Leftrightarrow a + b + c = 4b \Leftrightarrow p = 2b   (1)$
Ta có :
${\sin ^2}\frac{A}{2} = \frac{{1 – \cos A}}{2} = \frac{{1 – \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}}}{2} = \frac{{{a^2} – {{(b – c)}^2}}}{{4bc}} = \frac{{(p – b)(p – c)}}{{bc}}  (2)$
Từ $(1)(2)$ ta có    ${\sin ^2}\frac{A}{2} = \frac{{b(2b – c)}}{{bc}} = \frac{{2b – c}}{c}$
Làm tương tự có  ${\sin ^2}\frac{C}{2} = \frac{{2b – a}}{a}$
Vì vậy                ${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{{2b – c}}{c} + \frac{{2b – a}}{a} \ge \frac{2}{3}$
                                                         $\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \frac{{2ab – ac + 2bc – ac}}{{ac}} \ge \frac{2}{3}\\
 \Leftrightarrow 3b(a + c) \ge 4ac\\
 \Leftrightarrow {(a + c)^2} \ge 4ac
\end{array}$
                                                        $ \Leftrightarrow {(a – c)^2} \ge 0                                                    (3)$
Vì $(3)$ đúng suy ra  (đpcm)
Dấu $“=”$ xảy ra khi $a = c = \frac{3}{2}b$
Nhận xét :
$1/$ Vì $\sin A + \sin C = 3\sin B \Leftrightarrow a + c = 3b$,nên các lớp tam giác  thỏa mãn điều kiện là không rỗng.Ví dụ như tam giác có $a=5,b=3,c=4$ thỏa mãn điều kiện :
$2/$ Để ý rằng      ${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{2}{3} \Leftrightarrow 2 – (\cos A + \cos C) \ge \frac{4}{3} \Leftrightarrow \cos A + \cos C \le \frac{2}{3}$
Kết hợp với bất đẳng thức kinh điển,trong mọi tam giác ta có:
                       $\cos A + \cos B + \cos C > 1$
Suy ra hệ quả sau đây:   $\sin A + \sin C = 3\sin B \Leftrightarrow \sin B > \frac{1}{3}$
$3/$ Ta có bài toán tổng quát sau đây :
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn hệ thức :  $\sin A + \sin C = k\sin B ,k \in N,k \ge 2$)
                                                 CMR:${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{{k – 1}}{k}$
Thật vậy, từ  :  $\sin A + \sin C = k\sin B$
                     $\begin{array}{l}
 \Rightarrow a + c = kb\\
 \Rightarrow a + b + c = b(k + 1)\\
 \Rightarrow p = \frac{{b(k + 1)}}{2}
\end{array}$
Như vậy     ${\sin ^2}\frac{A}{2} = \frac{{(p – b)(p – c)}}{{bc}} = \frac{{(\frac{{k + 1}}{2} – 1)b(\frac{{k + 1}}{2}b – c)}}{{bc}} = \frac{{(k – 1)\left[ {(k + 1)b – 2c} \right]}}{{4c}}$
Tương tự    ${\sin ^2}\frac{C}{2} = \frac{{(k – 1)\left[ {(k + 1)b – 2a} \right]}}{{4a}}$
Do đó         ${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{{k – 1}}{k}     (*)$
               $\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \frac{{k – 1}}{4}\left[ {(k + 1)ab – 2ac + (k + 1)bc – 2ac} \right] \ge \frac{{k – 1}}{k}ac\\
 \Leftrightarrow (k + 1)b(a + c) – 4ac \ge \frac{{4ac}}{k}\\
 \Leftrightarrow \frac{{k + 1}}{k}{(a + c)^2} \ge 4ac(1 + \frac{1}{k})\\
 \Leftrightarrow {(a + c)^2} \ge 4ac
\end{array}$
              $ \Leftrightarrow {(a – c)^2} \ge 0                                         (**)$
Vì $(**)$ đúng nên $(*)$ đúng và đó là (đpcm)
$4/$ Ta có bài toán tương tự sau:Cho tam giác $ABC$ có $\sin B + \sin C = \sqrt 3 $
                                                CMR: $\frac{{\sin 2A}}{{\sin 3A}} \ge \frac{2}{3}$
Lời giải xin dành cho bạn đọc.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác