• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $sinA+sinC=3sinB$            CMR ${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{2}{3}$

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức trong tam giác

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $sinA+sinC=3sinB$            CMR ${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{2}{3}$

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $sinA+sinC=3sinB$            CMR ${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{2}{3}$
Lời giải

Từ giả thiết và theo định lý hàm số sin, ta có: $a + c = 3b \Leftrightarrow a + b + c = 4b \Leftrightarrow p = 2b   (1)$
Ta có :
${\sin ^2}\frac{A}{2} = \frac{{1 – \cos A}}{2} = \frac{{1 – \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}}}{2} = \frac{{{a^2} – {{(b – c)}^2}}}{{4bc}} = \frac{{(p – b)(p – c)}}{{bc}}  (2)$
Từ $(1)(2)$ ta có    ${\sin ^2}\frac{A}{2} = \frac{{b(2b – c)}}{{bc}} = \frac{{2b – c}}{c}$
Làm tương tự có  ${\sin ^2}\frac{C}{2} = \frac{{2b – a}}{a}$
Vì vậy                ${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{{2b – c}}{c} + \frac{{2b – a}}{a} \ge \frac{2}{3}$
                                                         $\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \frac{{2ab – ac + 2bc – ac}}{{ac}} \ge \frac{2}{3}\\
 \Leftrightarrow 3b(a + c) \ge 4ac\\
 \Leftrightarrow {(a + c)^2} \ge 4ac
\end{array}$
                                                        $ \Leftrightarrow {(a – c)^2} \ge 0                                                    (3)$
Vì $(3)$ đúng suy ra  (đpcm)
Dấu $“=”$ xảy ra khi $a = c = \frac{3}{2}b$
Nhận xét :
$1/$ Vì $\sin A + \sin C = 3\sin B \Leftrightarrow a + c = 3b$,nên các lớp tam giác  thỏa mãn điều kiện là không rỗng.Ví dụ như tam giác có $a=5,b=3,c=4$ thỏa mãn điều kiện :
$2/$ Để ý rằng      ${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{2}{3} \Leftrightarrow 2 – (\cos A + \cos C) \ge \frac{4}{3} \Leftrightarrow \cos A + \cos C \le \frac{2}{3}$
Kết hợp với bất đẳng thức kinh điển,trong mọi tam giác ta có:
                       $\cos A + \cos B + \cos C > 1$
Suy ra hệ quả sau đây:   $\sin A + \sin C = 3\sin B \Leftrightarrow \sin B > \frac{1}{3}$
$3/$ Ta có bài toán tổng quát sau đây :
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn hệ thức :  $\sin A + \sin C = k\sin B ,k \in N,k \ge 2$)
                                                 CMR:${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{{k – 1}}{k}$
Thật vậy, từ  :  $\sin A + \sin C = k\sin B$
                     $\begin{array}{l}
 \Rightarrow a + c = kb\\
 \Rightarrow a + b + c = b(k + 1)\\
 \Rightarrow p = \frac{{b(k + 1)}}{2}
\end{array}$
Như vậy     ${\sin ^2}\frac{A}{2} = \frac{{(p – b)(p – c)}}{{bc}} = \frac{{(\frac{{k + 1}}{2} – 1)b(\frac{{k + 1}}{2}b – c)}}{{bc}} = \frac{{(k – 1)\left[ {(k + 1)b – 2c} \right]}}{{4c}}$
Tương tự    ${\sin ^2}\frac{C}{2} = \frac{{(k – 1)\left[ {(k + 1)b – 2a} \right]}}{{4a}}$
Do đó         ${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{{k – 1}}{k}     (*)$
               $\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \frac{{k – 1}}{4}\left[ {(k + 1)ab – 2ac + (k + 1)bc – 2ac} \right] \ge \frac{{k – 1}}{k}ac\\
 \Leftrightarrow (k + 1)b(a + c) – 4ac \ge \frac{{4ac}}{k}\\
 \Leftrightarrow \frac{{k + 1}}{k}{(a + c)^2} \ge 4ac(1 + \frac{1}{k})\\
 \Leftrightarrow {(a + c)^2} \ge 4ac
\end{array}$
              $ \Leftrightarrow {(a – c)^2} \ge 0                                         (**)$
Vì $(**)$ đúng nên $(*)$ đúng và đó là (đpcm)
$4/$ Ta có bài toán tương tự sau:Cho tam giác $ABC$ có $\sin B + \sin C = \sqrt 3 $
                                                CMR: $\frac{{\sin 2A}}{{\sin 3A}} \ge \frac{2}{3}$
Lời giải xin dành cho bạn đọc.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức trong tam giác

Bài liên quan:

  1. Đề bài:  Cho $a,b,c$ là độ dài các cạnh tam giác, chứng minh:         $Q=a^9b(a-b)+b^9c(b-c)+c^9a(c-a) \geq 0$
  2. Đề bài: Cho $\triangle ABC$ có $r,R$ theo thứ tự là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp, chứng minh rằng:  $\frac{r}{R}\leq \frac{1}{2}$
  3. Đề bài: Gọi $a,b,c$ là độ dài các cạnh $\Delta ABC$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức                                          $Q=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}$
  4. Đề bài: Chứng minh rằng trong mọi tam giác $ABC$ nhọn ta đều có:             $\frac{2}{3}(\sin A+\sin B+\sin C)+\frac{1}{3}(\tan A+\tan B+\tan C)> \pi$.
  5. Đề bài: 1)   Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện: $max ({h_a},{h_b},{h_c}) < 1$Chứng minh rằng:  khi đó ta có   $S < \frac{{\sqrt 3 }}{3}$2)  Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện : ${l_a} + {l_b} + {l_c} = \frac{{a + b + c}}{3}(\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ac}}{{a + c}})$Chứng minh rằng: $R \ge 1$
  6. Đề bài: Cho: $\triangle ABC$ và $x,y,z>0$.Chứng minh rằng:$\frac{1}{x}\cos A+\frac{1}{y}\cos B+\frac{1}{z}\cos C\leq \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2xyz}$
  7. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có số đo ba cạnh là $a, b, c$ và chu vi $2p$. Giả sử  $ c \le b \le a $. Chứng minh rằng:  $p^2 \le \frac{9}{4}ab. $
  8. Đề bài:    Cho ba đường tròn có chu vi $C_1, C_2, C_3$ từng đôi tiếp xúc ngoài  tại $A, B, C$. Vòng tròn nội tiếp tam giác $ABC$ có chu vi $C$.Chứng minh: $C\sqrt{3} \leq \sqrt[3]{C_1C_2C_3}$
  9. Đề bài: Cho $a, b, c$ là số đo 3 cạnh của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:  $ a^2 + b^2 + c^2 < 2( ab + bc + ca) $ 
  10. Đề bài: Biết rằng $a, b, c$ là độ dài các cạnh của một tam giác, $p$ là nửa chu vi, chứng minh rằng:                          \(\sqrt p  < \sqrt {p - a}  + \sqrt {p - b}  + \sqrt {p - c}  \le \sqrt {3p} \)
  11. Đề bài: Cho tam giác $ABC$, có $b \ge c$. Chứng minh rằng :$l_b \le l_c$
  12. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có $2A + 3B = \pi $            CMR: $4(a+b)\ \le 5c$
  13. Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{1}{{2Rr}} \le \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \le \frac{1}{{4{r^2}}}$
  14. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện:  $tanA+tanC=2tanB$            CMR: $\cos A + \cos C \le \frac{{3\sqrt 2 }}{4}$
  15. Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{m_a.m_b.m_c}}{{m_a^2 + m_b^2 + m_c^2}} \ge r$

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.