• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $sinA+sinC=3sinB$            CMR ${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{2}{3}$

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức trong tam giác

adsense
Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $sinA+sinC=3sinB$            CMR ${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{2}{3}$

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $sinA+sinC=3sinB$            CMR ${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{2}{3}$
Lời giải

adsense

Từ giả thiết và theo định lý hàm số sin, ta có: $a + c = 3b \Leftrightarrow a + b + c = 4b \Leftrightarrow p = 2b   (1)$
Ta có :
${\sin ^2}\frac{A}{2} = \frac{{1 – \cos A}}{2} = \frac{{1 – \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}}}{2} = \frac{{{a^2} – {{(b – c)}^2}}}{{4bc}} = \frac{{(p – b)(p – c)}}{{bc}}  (2)$
Từ $(1)(2)$ ta có    ${\sin ^2}\frac{A}{2} = \frac{{b(2b – c)}}{{bc}} = \frac{{2b – c}}{c}$
Làm tương tự có  ${\sin ^2}\frac{C}{2} = \frac{{2b – a}}{a}$
Vì vậy                ${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{{2b – c}}{c} + \frac{{2b – a}}{a} \ge \frac{2}{3}$
                                                         $\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \frac{{2ab – ac + 2bc – ac}}{{ac}} \ge \frac{2}{3}\\
 \Leftrightarrow 3b(a + c) \ge 4ac\\
 \Leftrightarrow {(a + c)^2} \ge 4ac
\end{array}$
                                                        $ \Leftrightarrow {(a – c)^2} \ge 0                                                    (3)$
Vì $(3)$ đúng suy ra  (đpcm)
Dấu $“=”$ xảy ra khi $a = c = \frac{3}{2}b$
Nhận xét :
$1/$ Vì $\sin A + \sin C = 3\sin B \Leftrightarrow a + c = 3b$,nên các lớp tam giác  thỏa mãn điều kiện là không rỗng.Ví dụ như tam giác có $a=5,b=3,c=4$ thỏa mãn điều kiện :
$2/$ Để ý rằng      ${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{2}{3} \Leftrightarrow 2 – (\cos A + \cos C) \ge \frac{4}{3} \Leftrightarrow \cos A + \cos C \le \frac{2}{3}$
Kết hợp với bất đẳng thức kinh điển,trong mọi tam giác ta có:
                       $\cos A + \cos B + \cos C > 1$
Suy ra hệ quả sau đây:   $\sin A + \sin C = 3\sin B \Leftrightarrow \sin B > \frac{1}{3}$
$3/$ Ta có bài toán tổng quát sau đây :
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn hệ thức :  $\sin A + \sin C = k\sin B ,k \in N,k \ge 2$)
                                                 CMR:${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{{k – 1}}{k}$
Thật vậy, từ  :  $\sin A + \sin C = k\sin B$
                     $\begin{array}{l}
 \Rightarrow a + c = kb\\
 \Rightarrow a + b + c = b(k + 1)\\
 \Rightarrow p = \frac{{b(k + 1)}}{2}
\end{array}$
Như vậy     ${\sin ^2}\frac{A}{2} = \frac{{(p – b)(p – c)}}{{bc}} = \frac{{(\frac{{k + 1}}{2} – 1)b(\frac{{k + 1}}{2}b – c)}}{{bc}} = \frac{{(k – 1)\left[ {(k + 1)b – 2c} \right]}}{{4c}}$
Tương tự    ${\sin ^2}\frac{C}{2} = \frac{{(k – 1)\left[ {(k + 1)b – 2a} \right]}}{{4a}}$
Do đó         ${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{{k – 1}}{k}     (*)$
               $\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \frac{{k – 1}}{4}\left[ {(k + 1)ab – 2ac + (k + 1)bc – 2ac} \right] \ge \frac{{k – 1}}{k}ac\\
 \Leftrightarrow (k + 1)b(a + c) – 4ac \ge \frac{{4ac}}{k}\\
 \Leftrightarrow \frac{{k + 1}}{k}{(a + c)^2} \ge 4ac(1 + \frac{1}{k})\\
 \Leftrightarrow {(a + c)^2} \ge 4ac
\end{array}$
              $ \Leftrightarrow {(a – c)^2} \ge 0                                         (**)$
Vì $(**)$ đúng nên $(*)$ đúng và đó là (đpcm)
$4/$ Ta có bài toán tương tự sau:Cho tam giác $ABC$ có $\sin B + \sin C = \sqrt 3 $
                                                CMR: $\frac{{\sin 2A}}{{\sin 3A}} \ge \frac{2}{3}$
Lời giải xin dành cho bạn đọc.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức trong tam giác

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Chứng  minh rằng : $h_a \le \left( {1 + \sqrt 2 } \right)r \le R$
  2. Đề bài: Cho $\triangle ABC$, chứng minh rằng: a.   $l_a\leq m_a$                                       b.$\frac{l_a+l_b}{c}+\frac{l_b+l_c}{a}+\frac{l_c+l_a}{b}\leq 3 \sqrt{3}$
  3. Đề bài:  Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: $m_a + m_b + m_c \le r_a + r_b + r_c$
  4. Đề bài: Cho $\triangle ABC$ chứng minh rằng:   $  \sin{\frac{A}{2}}. \sin{\frac{B}{2}}. \sin{\frac{C}{2}}  \leq \frac{1}{8}$
  5. Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{{h_a}}}{{{l_a}}} \ge \sqrt {\frac{{2r}}{R}} $
  6. Đề bài: Gọi $m_{a},m_{b},m_{c} $ là độ dài tương ứng của $3$ đường trung tuyến kẻ từ $A,B,C$ của $\triangle ABC$ và $h_{a},h_{b},h_{c} $ là độ dài $3$ đường cao kẻ từ $A,B,C$ tương ứng.Chứng minh rằng :$\left ( m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2} \right )\left ( h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2} \right )\geq 27S^{2}$ với $S$ là diện tích $\triangle ABC$.
  7. Đề bài: Cho $\Delta  ABC$.Chứng minh rằng :a)  $\cos 2A-\cos 2B+\cos 2C\leq \frac{3}{2}$b)  $\cos 2A+\cos 2B-\cos 2C\leq \frac{3}{2}$
  8. Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{{m_a}}}{{{l_a}}} \ge \frac{{b + c}}{{2\sqrt {bc} }}$
  9. Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ ta có:        $a^2MA^2 + b^2MB^2 + c^2MC^2 \ge \frac{{3{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$
  10. Đề bài: Cho tam giác $ABC$  thỏa mãn :                    $\cos A+\cos B+\cos C+\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C=0     (1)$Chứng minh $\Delta ABC$ đều.
  11. Đề bài: Cho $a, b, c$ là độ dài các cạnh và $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$
  12. Đề bài: Chứng minh rằng nếu $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng $3$ thì                             \(3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} + 4abc \ge 13\)
  13. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn:   $\cos A + \cos B+\cos C =\sin \frac{ A}{ 2} + \sin \frac{ B}{ 2} +\sin \frac{C }{ 2}   (1)$.Chứng minh  $\Delta ABC$ đều.
  14. Đề bài: Cho $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác. Chứng minh:$\displaystyle \frac{a}{2b+2c-a}+\frac{b}{2c+2a-b}+\frac{c}{2a+2b-c}\geq 1$
  15. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có các góc $A, B, C$ thỏa mãn hệ thức \({\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2{\sin ^2}A\)Chứng minh rằng \(A \le {60^{0}}\)

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2023) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.