Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện:  $tanA+tanC=2tanB$            CMR: $\cos A + \cos C \le \frac{{3\sqrt 2 }}{4}$

Lời giải

Đề bài:
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện:  $tanA+tanC=2tanB$            CMR: $\cos A + \cos C \le \frac{{3\sqrt 2 }}{4}$
Lời giải

Từ giả thiết $tanA+tanC=2tanB$
 Suy ra $\frac{{\sin (A + C)}}{{\cos A\cos C}} = 2\frac{{\sin B}}{{\cos B}}$
Vì $sin(A+C)=sinB>0$, nên $2cosAcosC=cosB$
                                   $ \Rightarrow c{\rm{os}}(A + C) + c{\rm{os}}(A – C) = \cos B$
                                  $c{\rm{os}}(A – C) = 2\cos B                            (1)$
Ta có $\cos A + \cos C = 2\cos \frac{{A + C}}{2}c{\rm{os}}\frac{{A – C}}{2}$
                                $ = 2\sin \frac{B}{2}\sqrt {\frac{{1 + c{\rm{os}}(A – C)}}{2}}          (2)$
Từ $(1)(2)$ suy ra   $\cos A + \cos C = \sqrt 2 \sin \frac{B}{2}\sqrt {1 + 2\cos B} $
 $ \Rightarrow {(\cos A + \cos C)^2} = 2{\sin ^2}\frac{B}{2}(1 + 2\cos B) = \frac{1}{2}(2 – 2\cos B)(1 + 2\cos B)$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi suy ra
                      ${(\cos A + \cos C)^2} \le \frac{1}{2}\frac{{{3^2}}}{4} \Rightarrow \cos A + \cos C \le \frac{{3\sqrt 2 }}{4}$
Đó là (đpcm).Dấu $“=”$ xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}
tanA + tanC = 2tanB\\
\cos B = \frac{1}{4}
\end{array} \right.$
Nhận xét
$1/$ Theo bài $229$ thì lớp tam giác thỏa mãn $tanA+tanC=2tanB$
 Là không rỗng. Vậy bài toán có ý nghĩa
$2/$ Bây giờ ta xét lớp tam giác hệ
                        $\left\{ \begin{array}{l}
tanA + tanC = 2tanB\\
\cos B = \frac{1}{4}
\end{array} \right.$ có khác rỗng hay không ?
Từ $\cos B = \frac{1}{4} \Rightarrow tanB = \sqrt {15} $
Ta có: $tanA+tanC=2tanB$  $ \Leftrightarrow tanA – tan(A + B) = 2tanB$
                                    $\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow tanA – \frac{{tanA + tanB}}{{1 – tanAtanB}} = 2tanB\\
 \Leftrightarrow tanA – \frac{{tanA + \sqrt {15} }}{{1 – \sqrt {15} tanA}} = 2\sqrt {15} \\
 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {15}  – \sqrt {15} t{g^2}A}}{{1 – \sqrt {15} tanA}} = 2\sqrt {15} \\
 \Leftrightarrow t{g^2}A – 2\sqrt {15} tanA + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
tanA = \sqrt {15}  + \sqrt {14} \\
tanA = \sqrt {15}  – \sqrt {14}
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy tồn tại tam giác thỏa mãn hệ thức nói trên, tức là tồn tại tam giác đạt được dấu $“=”$ đẳng thức trong bất đẳng thức đòi hỏi phải chứng minh

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác