Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn:   $\cos A + \cos B+\cos C =\sin \frac{ A}{ 2} + \sin \frac{ B}{ 2} +\sin \frac{C }{ 2}   (1)$.Chứng minh  $\Delta ABC$ đều.

Lời giải

Đề bài:
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn:   $\cos A + \cos B+\cos C =\sin \frac{ A}{ 2} + \sin \frac{ B}{ 2} +\sin \frac{C }{ 2}   (1)$.Chứng minh  $\Delta ABC$ đều.
Lời giải

Ta có  $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B }{ 2} \cos \frac{ A-B}{ 2} \leq 2 \cos \frac{ A+B}{ 2} = 2 \sin \frac{ C}{ 2}    (2)$
Như vậy $\cos A + \cos B \leq 2 \sin \frac{ C}{ 2}   (2)$
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $A=B$
Tương tự :
       $\cos B+\cos C \leq 2 \sin \frac{ A}{ 2}   (3)$
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $B=C$
       $\cos A +\cos C \leq 2 \sin \frac{B }{2 }   (4) $
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $A=C$
Cộng vế với vế $(2),(3), (4)$ với nhau ta được:
       $2(\cos A+\cos B+\cos C) \leq 2 \left ( \sin \frac{ A}{ 2} + \sin \frac{ B}{ 2}  + \sin \frac{ C}{ 2} \right )$
      $\Leftrightarrow  \cos A+\cos B+\cos C \leq \sin \frac{ A}{ 2} +\sin \frac{ B}{ 2} +\sin \frac{ C}{ 2}   (5)$
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C.$
Từ $(1)$ và $(5)$ ta nhận thấy $(1)$ chỉ đúng khi ở $(5)$ có dấu đẳng thức tức là $\Delta ABC$ đều.
Vậy $(1)$ đúng thì tam giác $ABC$ đều.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác