Lời giải
Đề bài:
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $\cos A + \cos B+\cos C =\sin \frac{ A}{ 2} + \sin \frac{ B}{ 2} +\sin \frac{C }{ 2} (1)$.Chứng minh $\Delta ABC$ đều.
Lời giải
Ta có $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B }{ 2} \cos \frac{ A-B}{ 2} \leq 2 \cos \frac{ A+B}{ 2} = 2 \sin \frac{ C}{ 2} (2)$
Như vậy $\cos A + \cos B \leq 2 \sin \frac{ C}{ 2} (2)$
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $A=B$
Tương tự :
$\cos B+\cos C \leq 2 \sin \frac{ A}{ 2} (3)$
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $B=C$
$\cos A +\cos C \leq 2 \sin \frac{B }{2 } (4) $
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $A=C$
Cộng vế với vế $(2),(3), (4)$ với nhau ta được:
$2(\cos A+\cos B+\cos C) \leq 2 \left ( \sin \frac{ A}{ 2} + \sin \frac{ B}{ 2} + \sin \frac{ C}{ 2} \right )$
$\Leftrightarrow \cos A+\cos B+\cos C \leq \sin \frac{ A}{ 2} +\sin \frac{ B}{ 2} +\sin \frac{ C}{ 2} (5)$
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C.$
Từ $(1)$ và $(5)$ ta nhận thấy $(1)$ chỉ đúng khi ở $(5)$ có dấu đẳng thức tức là $\Delta ABC$ đều.
Vậy $(1)$ đúng thì tam giác $ABC$ đều.
=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác
Trả lời