Đề bài: Cho $\triangle ABC$ chứng minh rằng: $ \sin{\frac{A}{2}}. \sin{\frac{B}{2}}. \sin{\frac{C}{2}} \leq \frac{1}{8}$
Lời giải
Đề bài:
Cho $\triangle ABC$ chứng minh rằng: $ \sin{\frac{A}{2}}. \sin{\frac{B}{2}}. \sin{\frac{C}{2}} \leq \frac{1}{8}$
Lời giải
Ta luôn có $\sin{\frac{A}{2}}, \sin{\frac{B}{2}},\sin{\frac{C}{2}}>0$.
Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
$ \sin{\frac{A}{2}}. \sin{\frac{B}{2}}. \sin{\frac{C}{2}} \leq(\frac{ \displaystyle \sin{\frac{A}{2}}+\sin{\frac{B}{2}}+ \sin{\frac{C}{2}}}{3})^3 \leq (\frac{1}{2})^3= \frac{1}{8}$.
Dấu $”=”$ xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C\Leftrightarrow \triangle ABC$ đều.
=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác
Trả lời