Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{{h_a}}}{{{l_a}}} \ge \sqrt {\frac{{2r}}{R}} $

Lời giải

Đề bài:
Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{{h_a}}}{{{l_a}}} \ge \sqrt {\frac{{2r}}{R}} $
Lời giải

$\frac{{{h_a}}}{{{l_a}}} \ge \sqrt {\frac{{2r}}{R}}  \Leftrightarrow \frac{{{h_a}^2}}{{{l_a}^2}} \ge \frac{{2r}}{R}$
    $\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \frac{{\frac{{4{S^2}}}{{{a^2}}}}}{{\frac{{bc}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}\left( {a + b + c} \right)\left( { – a + b + c} \right)}} \ge \frac{{\frac{{4S}}{{a + b + c}}}}{{\frac{{abc}}{{4S}}}}\\
 \Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2} \ge 4a\left( {b + c – a} \right)\\
 \Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2} – 4\left( {b + c} \right)a + 4{a^2} \ge 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {b + c – 2a} \right)^2} \ge 0
\end{array}$
Bất đẳng thức này luôn đúng nên ta có ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow b + c = 2a$.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác