Đề bài:  Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: $m_a + m_b + m_c \le r_a + r_b + r_c$

Lời giải

Đề bài:
 Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: $m_a + m_b + m_c \le r_a + r_b + r_c$
Lời giải

Ta có: ${r_a} + {r_b} + {r_c} = 4R + r$ (Xem cách chứng minh hệ thức này ở câu a) Bài 103664)
Vậy: ${m_a} + {m_b} + {m_c} \le {r_a} + {r_b} + {r_c}$    $ \Leftrightarrow {m_a} + {m_b} + {m_c} \le 4R + r$

Nếu $\Delta ABC$ nhọn . Từ $O$, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác hạ từ $OH, OI, OK$ lần lượt vuông góc với $BC, AC, AB$. Ta có:
    $\left\{ \begin{array}{l}
{m_a} = AH \le AO + OH = R + OH\\
{m_b} = BI \le BO + OI = R + OI\\
{m_c} = CK \le CO + OK = R + OK
\end{array} \right.$
    $\begin{array}{l}
 \Rightarrow {m_a} + {m_b} + {m_c} \le 3R + \left( {OH + OI + OK} \right)\ \underbrace{=}_{\text{Bài 103692}} 3R + R + r = 4R + r
\end{array}$

Nếu $\Delta ABC$ không nhọn. Giả sử $A \ge {90^o}$, vẫn như trường hợp tam giác nhọn ta kí hiệu $H, I, K$ lần lượt là trung điểm của $BC, CA, AB$ . Ta có: ${m_a} \le \frac{a}{2}$
Xét các tam giác $BKI, CIK$.                
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{m_b} = BI {m_c} = CK \end{array} \right.$
Suy ra: ${m_a} + {m_b} + {m_c}     $\begin{array}{l}
 = 2a + \left( {p – a} \right) = 2a + r\cot\frac{A}{2}
 \le 2.2R + r\cot{45^o}\\
 = 4R + r
\end{array}$
$\Rightarrow {m_a} + {m_b} + {m_c}
Tóm lại: ${m_a} + {m_b} + {m_c} \le 4R + r = {r_a} + {r_b} + {r_c}$                   
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow \Delta ABC$ đều.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác