Đề bài: Chứng minh rằng:$\tan^{n} A+\tan^{n} B+\tan^{n} C \geq 3 (\sqrt {3})^{n}, \forall n \geq 1 và  \Delta ABC  nhọn$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng:$\tan^{n} A+\tan^{n} B+\tan^{n} C \geq 3 (\sqrt {3})^{n}, \forall n \geq 1 và  \Delta ABC  nhọn$
Lời giải

Xét $f(x)=\tan^{n} x,x \in (0,\frac{\pi}{2})$
$f'(x)=\frac{n.\tan^{n-1} x}{\cos^{2}x}$
$f”(x)=n.\tan^{n-2} x[\sin 2x.\tan x+(n-1)] >0$ ( do $x\in (0;\frac{\pi}{2})$)
$\Rightarrow f$ là hàm số lõm trên $(0,\frac{\pi}{2})$
Theo BĐT Jensen ta có:
$f(A)+f(B)+f(C) \geq 3f(\frac{A+B+C}{3})$
$\Rightarrow \tan^{n} A+\tan^{n} B+\tan^{n} C \geq 3\tan(\frac{A+B+C}{3})^{n}=3 (\sqrt {3})^{n}$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \triangle  ABC$ đều.
$\Rightarrow $ (ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác