Đề bài: Biết rằng $a, b, c$ là độ dài các cạnh của một tam giác, $p$ là nửa chu vi, chứng minh rằng:                          \(\sqrt p  < \sqrt {p - a}  + \sqrt {p - b}  + \sqrt {p - c}  \le \sqrt {3p} \)

Lời giải

Đề bài:
Biết rằng $a, b, c$ là độ dài các cạnh của một tam giác, $p$ là nửa chu vi, chứng minh rằng:                          \(\sqrt p  < \sqrt {p - a}  + \sqrt {p - b}  + \sqrt {p - c}  \le \sqrt {3p} \)
Lời giải

 Vì \(p – a,p – b,p – c > 0;\,\,p – a + p – b + p – c = p\) nên \(\begin{array}{l}
\left( {p – a} \right) + \left( {p – b} \right) + \left( {p – c} \right) + 2\sqrt {\left( {p – a} \right).\left( {p – b} \right)}\\  + 2\sqrt {\left( {p – a} \right).\left( {p – c} \right)}  + 2\sqrt {\left( {p – c} \right).\left( {p – b} \right)}  > p + 0\\
\Leftrightarrow {\left( {\sqrt {p – a}  + \sqrt {p – b}  + \sqrt {p – c} } \right)^2} > {\left( {\sqrt p } \right)^2} \Leftrightarrow \sqrt {p – a}  + \sqrt {p – b}  + \sqrt {p – c}  > \sqrt p
\end{array}\)
Mặt khác:
 \(\begin{array}{l}
{\left( {\sqrt {p – a}  + \sqrt {p – b}  + \sqrt {p – c} } \right)^2} \le 3\left( {p – a + p – b + p – c} \right) = 3p\\
\Rightarrow \sqrt {p – a}  + \sqrt {p – b}  + \sqrt {p – c}  \le \sqrt {3p}
\end{array}\)
Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow p – a = p – b = p – c \Leftrightarrow a = b = c \Leftrightarrow \Delta \)đều

Môt cách đơn giản hơn là đặt $p-a=x,  p-b=y,  p-c=z$.
Như vậy, $x,y,z>0$. Ta biểu diễn BĐT về $x,y,z$ rồi áp dụng Côsi là được.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác