• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có $2A + 3B = \pi $            CMR: $4(a+b)\ \le 5c$

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức trong tam giác

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có $2A + 3B = \pi $            CMR: $4(a+b)\ \le 5c$

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
Cho tam giác $ABC$ có $2A + 3B = \pi $            CMR: $4(a+b)\ \le 5c$
Lời giải

Từ giả thiết suy ra  $A = \frac{\pi }{2} – \frac{{3B}}{2} \Rightarrow C = \frac{\pi }{2} + \frac{B}{2}$
Vì thế $\sin A = c{\rm{os}}\frac{{3B}}{2},\sin C = c{\rm{os}}\frac{B}{2}$
Theo định lý hàm số sin ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$
              Hay  $\frac{a}{{4\cos \frac{{3B}}{2} – 3\cos \frac{B}{2}}} = \frac{b}{{2\sin \frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}}} = \frac{c}{{c{\rm{os}}\frac{B}{2}}}   (1)$

Từ $(1)$ và theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
                      $\begin{array}{l}
\frac{{a + b}}{{4\cos \frac{{3B}}{2} – 3\cos \frac{B}{2} + 2\sin \frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}}} = \frac{c}{{c{\rm{os}}\frac{B}{2}}}\\
 \Rightarrow c = \frac{{a + b}}{{4{{\cos }^2}\frac{B}{2} + 2\sin \frac{B}{2} – 3}}\\
 \Rightarrow a + b = c( – 4{\sin ^2}\frac{B}{2} + 2\sin \frac{B}{2} + 1)(2)
\end{array}$
Dễ thấy
             $ – 4{\sin ^2}\frac{B}{2} + 2\sin \frac{B}{2} + 1 = \frac{5}{4} – {(2\sin \frac{B}{2} – \frac{1}{2})^2} \le \frac{5}{4}     (3)$
Từ $(2)$ và $(3)$ suy ra
                   $4(a+b) \le 5c$
Đó là $dpcm$. Dấu $“=”$ xảy ra khi $A = \frac{\pi }{2} – 3\arcsin \frac{1}{4},B = 2\arcsin \frac{1}{4},C = \frac{\pi }{2} + \arcsin \frac{1}{4}$
Nhận xét :  Điều ngược lại nói chung không đúng,tức là nếu có tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện $4(a+b)\leq 5c$ thì chưa chắc có $2A + 3B = \pi $
Thật vậy, chẳng hạn xét tam giác $ABC$ cân đỉnh $C$ có $a = b = \frac{5}{8}c$
Khi đó tam giác này có $4(a+b)\leq  5c$
Ta có $\cos A = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{\frac{c}{2}}}{{\frac{{5c}}{8}}} = \frac{4}{5}$
Vì $A=B\Rightarrow 2A + 3B = 5A$
Ta có$c{\rm{os}}\frac{\pi }{5} = 1 – 2{\sin ^2}\frac{\pi }{{10}} = \frac{{\sqrt 5  + 1}}{4}$
$\begin{array}{l}
 \Rightarrow A\neq   \frac{\pi }{5}(\cos A = \frac{4}{5})\\
 \Rightarrow 2A + 3B\neq   \pi
\end{array}$
Nhận xét được chứng minh.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức trong tam giác

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{{h_a}}}{{{l_a}}} \ge \sqrt {\frac{{2r}}{R}} $
  2. Đề bài: Gọi $m_{a},m_{b},m_{c} $ là độ dài tương ứng của $3$ đường trung tuyến kẻ từ $A,B,C$ của $\triangle ABC$ và $h_{a},h_{b},h_{c} $ là độ dài $3$ đường cao kẻ từ $A,B,C$ tương ứng.Chứng minh rằng :$\left ( m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2} \right )\left ( h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2} \right )\geq 27S^{2}$ với $S$ là diện tích $\triangle ABC$.
  3. Đề bài: Cho $\Delta  ABC$.Chứng minh rằng :a)  $\cos 2A-\cos 2B+\cos 2C\leq \frac{3}{2}$b)  $\cos 2A+\cos 2B-\cos 2C\leq \frac{3}{2}$
  4. Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{{m_a}}}{{{l_a}}} \ge \frac{{b + c}}{{2\sqrt {bc} }}$
  5. Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ ta có:        $a^2MA^2 + b^2MB^2 + c^2MC^2 \ge \frac{{3{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$
  6. Đề bài: Cho tam giác $ABC$  thỏa mãn :                    $\cos A+\cos B+\cos C+\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C=0     (1)$Chứng minh $\Delta ABC$ đều.
  7. Đề bài: Cho $a, b, c$ là độ dài các cạnh và $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$
  8. Đề bài: Chứng minh rằng nếu $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng $3$ thì                             \(3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} + 4abc \ge 13\)
  9. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn:   $\cos A + \cos B+\cos C =\sin \frac{ A}{ 2} + \sin \frac{ B}{ 2} +\sin \frac{C }{ 2}   (1)$.Chứng minh  $\Delta ABC$ đều.
  10. Đề bài: Cho $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác. Chứng minh:$\displaystyle \frac{a}{2b+2c-a}+\frac{b}{2c+2a-b}+\frac{c}{2a+2b-c}\geq 1$
  11. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có các góc $A, B, C$ thỏa mãn hệ thức \({\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2{\sin ^2}A\)Chứng minh rằng \(A \le {60^{0}}\)
  12. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn:                    $\frac{ 1}{a^3+b^3+abc } +\frac{1 }{ b^3+c^3+abc} +\frac{ 1}{ c^3+a^3+abc} = \frac{1 }{ abc}    (1)$. Chứng minh $\Delta ABC$ đều.
  13. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $a, b, c.$Chứng minh $a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc + ca)$
  14. Đề bài: Cho $a,b,c$ là độ dài $3$ cạnh $\triangle ABC,a\leq b\leq c$Chứng minh rằng: $\left ( a+b+c \right )^{2}\leq 9bc$
  15. Đề bài: Cho tam giác $ABC$, chứng minh rằng bất đẳng thức:$2\cos C+6\cos A+3\cos B

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.