Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có $2A + 3B = \pi $            CMR: $4(a+b)\ \le 5c$

Lời giải

Đề bài:
Cho tam giác $ABC$ có $2A + 3B = \pi $            CMR: $4(a+b)\ \le 5c$
Lời giải

Từ giả thiết suy ra  $A = \frac{\pi }{2} – \frac{{3B}}{2} \Rightarrow C = \frac{\pi }{2} + \frac{B}{2}$
Vì thế $\sin A = c{\rm{os}}\frac{{3B}}{2},\sin C = c{\rm{os}}\frac{B}{2}$
Theo định lý hàm số sin ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$
              Hay  $\frac{a}{{4\cos \frac{{3B}}{2} – 3\cos \frac{B}{2}}} = \frac{b}{{2\sin \frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}}} = \frac{c}{{c{\rm{os}}\frac{B}{2}}}   (1)$

Từ $(1)$ và theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
                      $\begin{array}{l}
\frac{{a + b}}{{4\cos \frac{{3B}}{2} – 3\cos \frac{B}{2} + 2\sin \frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}}} = \frac{c}{{c{\rm{os}}\frac{B}{2}}}\\
 \Rightarrow c = \frac{{a + b}}{{4{{\cos }^2}\frac{B}{2} + 2\sin \frac{B}{2} – 3}}\\
 \Rightarrow a + b = c( – 4{\sin ^2}\frac{B}{2} + 2\sin \frac{B}{2} + 1)(2)
\end{array}$
Dễ thấy
             $ – 4{\sin ^2}\frac{B}{2} + 2\sin \frac{B}{2} + 1 = \frac{5}{4} – {(2\sin \frac{B}{2} – \frac{1}{2})^2} \le \frac{5}{4}     (3)$
Từ $(2)$ và $(3)$ suy ra
                   $4(a+b) \le 5c$
Đó là $dpcm$. Dấu $“=”$ xảy ra khi $A = \frac{\pi }{2} – 3\arcsin \frac{1}{4},B = 2\arcsin \frac{1}{4},C = \frac{\pi }{2} + \arcsin \frac{1}{4}$
Nhận xét :  Điều ngược lại nói chung không đúng,tức là nếu có tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện $4(a+b)\leq 5c$ thì chưa chắc có $2A + 3B = \pi $
Thật vậy, chẳng hạn xét tam giác $ABC$ cân đỉnh $C$ có $a = b = \frac{5}{8}c$
Khi đó tam giác này có $4(a+b)\leq  5c$
Ta có $\cos A = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{\frac{c}{2}}}{{\frac{{5c}}{8}}} = \frac{4}{5}$
Vì $A=B\Rightarrow 2A + 3B = 5A$
Ta có$c{\rm{os}}\frac{\pi }{5} = 1 – 2{\sin ^2}\frac{\pi }{{10}} = \frac{{\sqrt 5  + 1}}{4}$
$\begin{array}{l}
 \Rightarrow A\neq   \frac{\pi }{5}(\cos A = \frac{4}{5})\\
 \Rightarrow 2A + 3B\neq   \pi
\end{array}$
Nhận xét được chứng minh.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác